Докажете, че функцията има производна в точката 0

[andrea_doll]

Как се решава тази задачка?

[Гост]

Ми решава се като се приложи дефиницията на производна в точка. В точките х≠0 могат да се прилагат директно правилата за диференциране, но за да се сметне производната в точката х=0 трябва да се приложи дефиницията.

[pipi langstrump]

Намираш лявата и дясната производна в 0-та и ако са равни - функцията е диф. в тая точка.

[andrea_doll]

Нещо не разбрах. Значи смятам производната на горното, после замествам f'(0). Така правя и за долното и накрая се оказва, че f'(0) от горното не е равно на f'(0) от долното, следователно няма производна в 0-та?...Ще помоля за конкретно решение на тази задача с числа без много думи.

[Mr.G{}{}Fy]

Търсиш границата на първото при х клонящо към 0,после и на второто при х клонящо към 0 и получаваш,че когато х клони към 0 от ляво границата ти е 1/5 и когато х клоня към 0 от дясно пак границата ти е 1/5 ===> има производна в 0.Би трябвало това да е обяснението.

[andrea_doll]

Да, разбрах сега! Благодаря! А как да намеря f'? Производната на едното, после производната на другото и замествам x в производната с 0 и на двете?

[pipi langstrump]

Търсиш границата на първото при х клонящо към 0,после и на второто при х клонящо към 0 и получаваш,че когато х клони към 0 от ляво границата ти е 1/5 и когато х клоня към 0 от дясно пак границата ти е 1/5 ===> има производна в 0.Би трябвало това да е обяснението.

Така само доказваш, че функцията е непрекъсната в нулата.
Което не е достатъчно, за да има производна в тази точка.

[andrea_doll]

Тогава може ли ти да кажеш как се решава?

[pipi langstrump]

За лявата производна можеш да ползваш правилата за диф., защото 0-та принадлежи на дм на долната функция, но за дясната трябва с дефиницията. Имаsh:

[tex]f'(0+) = \lim_{{x\to 0},{x>0}}\,\frac{\frac{\sqrt[5]{1 + x} - 1 }{x} - f(0)}{x - 0} = \lim_{{x\to 0},{x>0}}\,\frac{\frac{\sqrt[5]{1 + x} - 1 }{x} - \frac{1}{5} }{x}[/tex]

[strangerforever]

Търсиш границата на първото при х клонящо към 0,после и на второто при х клонящо към 0 и получаваш,че когато х клони към 0 от ляво границата ти е 1/5 и когато х клоня към 0 от дясно пак границата ти е 1/5 ===> има производна в 0.Би трябвало това да е обяснението.

Така само доказваш, че функцията е непрекъсната в нулата.
Което не е достатъчно, за да има производна в тази точка.

Дори и за непрекъснатост не е сигурно, ако не докажеш [tex]f(0) = \frac{1}{5}[/tex]

[Mr.G{}{}Fy]

Абсолютно прави сте!Не знам защо съм доказвал непрекъснатост,че и на всичкото отгоре,както каза strangerforever,не съм я доказал като хората