Намиране на най-голяма стойност

[darkstep]

Най-голямата стойност на функцията f(x) = [tex]\frac{0,5}{ 1 + sinx}[/tex] за [tex]x\in [\frac{\pi }{ 6}; \frac{5\pi}{6 }][/tex] e = ?

Намирам първа и 2ра производна от които излиза че при cosx = 0 има минимум на функцията. Въпросът ми е как се намира в този случай на-голямата стойност на функцията и как се описва. Моля някой да обясни.

[s.karakoleva]

Намира се първата производна [tex]f'(x)=-\frac{\cos x}{(1+\sin x)^2}[/tex] и се решава уравнението [tex]f'(x)=0[/tex]. Решенията на [tex]\cos x=0[/tex] са [tex]x=\pm \frac{\pi}{2}+2k\pi, k=0, \pm 1, \pm 2\ldots[/tex], но в интервала [tex]\left[\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\right][/tex] е само [tex]x=\frac{\pi}{2}[/tex].

След това се изследва знака на първата производна около [tex]x=\frac{\pi}{2}[/tex].
При [tex]x\in\left[\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2}\right)[/tex] тя е отрицателна, а при [tex]x\in\left(\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\right][/tex] е положителна, откъдето следва, че в точката [tex]x=\frac{\pi}{2}[/tex] функцията има локален минимум.

Търсим глобалния максимум в дадения интервал. Тъй като f има локален минимум в интервала, следователно тя ще достигне НГС или в левия, или в десния край на дадения интервал. Намираме стойностите на функцията в краищата и вземаме по-голямата от тях. В случая и двете стойности са равни на 1/3.

[monika_at]

Най-голямата стойност на функцията f(x) = [tex]\frac{0,5}{ 1 + sinx}[/tex] за [tex]x\in [\frac{\pi }{ 6}; \frac{5\pi}{6 }][/tex] e = ?

Намирам първа и 2ра производна от които излиза че при cosx = 0 има минимум на функцията. Въпросът ми е как се намира в този случай на-голямата стойност на функцията и как се описва. Моля някой да обясни.

В тази задача производните са абсолютно излишни. Важното е, да познаваш характера на функциите.
Функцията синус в 1 и 2 квадрант е симетрична спрямо правата, успоредна на Оу и минаваща през [tex]x=\frac{\pi }{2 }[/tex]
Това означава, да я разгледаме само в 1 квадрант, където е растяща. Тогава най-малката стойност ще се достигне за
[tex]x=\frac{\pi }{ 6}[/tex]

[s.karakoleva]

Тогава най-малката стойност ще се достигне за
[tex]x=\frac{\pi }{ 6}[/tex]

Търси се най-ГОЛЯМАТА стойност на [tex]f(x)[/tex]. Има ясен и конкретен алгоритъм за намиране на най-голяма и най-малка стойност на функция. Познаването на свойствата на функциите не е излишно, но то не изключва прилагането на необходимите и достатъчни условия за екстремум.

[s.karakoleva]

При [tex]x\in\left[\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2}\right)[/tex] тя е отрицателна, а при [tex]x\in\left(\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\right][/tex] .....

Поправка:
При [tex]x\in\left[\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2}\right)[/tex] тя е отрицателна, а при [tex]x\in\left(\frac{\pi}{2},\frac{5\pi}{6}\right][/tex] ...

[monika_at]

НМС за знаменателя ще е при [tex]x=\frac{\pi }{ 6}[/tex] и това ще е НГС за самата функция.
Аз харесвам алгоритмите, но не ги обичам. Математиката не е само алгоритми, но и мислене и полет