Производни и екстремуми.

[savoy]

За пръв път попадам на такива задачи и ми е интересно как се решават, а идея си нямам.

1. Дадена е функцията [tex]f(x) = \frac{1}{4}tg2x + kx[/tex], където k е реален параметър. За коя стойност на k е изпълнено [tex]f'(\frac{\pi }{6 }) = 0[/tex]

2. Дадена е функцията [tex]f(x) = \frac{1}{3}k^2x^3 + 3x^2 + x[/tex], където k е реален параметър. За кои стойности на k функцията е растяща за [tex]x\in (-\infty,+\infty )[/tex]

Ако някой може да отдели време да ми помогне да разбера задачите ще бъда много благодарен!

[Anubis]

[tex]f(x) = \frac{1}{4} \tan 2x + kx \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{2 \cos^2 2x} + k[/tex]

[tex]f' \left ( \frac{\pi}{6} \right ) = \frac{1}{2 \cos^2 \frac{\pi}{3}} + k = k + 2 = 0 \Rightarrow k = -2[/tex]

За другата трябва едно нещо от 10 клас.

Функцията [tex]f(x)[/tex] е растяща в интервала [tex](a; \, b)[/tex], ако [tex]f'(x)>0[/tex] за [tex]x \in (a; \, b)[/tex].

[tex]f(x) = \frac{1}{3} k^2 x^3 + 3x^2 + x \Rightarrow f'(x) = k^2 x^2 + 6x + 1[/tex]

За да е растяща функцията за всяко [tex]x \in (-\infty; \, +\infty)[/tex], то трябва [tex]f'(x)>0[/tex] за всяко [tex]x \in (-\infty; \, +\infty)[/tex]. Това ще

е така, ако [tex]a>0, \, D<0[/tex] (10 клас). Оттук получаваме [tex]9-k^2<0[/tex] или [tex]k \in (-3; \, 3)[/tex].

[Anubis]

[tex]9-k^2<0 \Rightarrow k \in (-\infty; \, 3) \cup (3; \, +\infty)[/tex]