Изследване на странна функция :D

[Math7]

izsledvane.jpg (23.67 KiB) Прегледано 813 пъти

Привет,

Някой може ли да ми помогне с изследването на тази функция. Знам алогритъма, но тези корени ме объркват

[math10.com]

Кое те обърква с корените?
Проверяваш за непрекъснатост.Понеже имаме корен трети(нечетно) значи [tex]f(x)[/tex] е непрекъсната за целия интервал [tex](-\infty ;+\infty)[/tex].След това изследваме по познатия алгоритъм.Намираме корените на 1-вата производна, които са локални екстремуми . Намираме корените на 2-рата производна , където имаме инфлексия.Изследваме за растене, намаляване ,изпъкналост и вдлъбнатост.Намираме граничните стойности при [tex]x=\pm\infty[/tex] и т. н.

[Math7]

Благодаря много за отговора. Алгоритъмът ми е ясен, но бъркам с производната

[math10.com]

[tex]f(x)=\sqrt[3]{x^2(1-x)}=[x^2(1-x)]^{\frac{1}{3}}[/tex]

[tex]f'(x)=\frac{1}{3}.[x^2(1-x)]^{-\frac{2}{3}}.[x^2(1-x)]'[/tex]

[tex]f'(x)=\frac{1}{3}.[x^2(1-x)]^{-\frac{2}{3}}.[2x(1-x)-x^2][/tex]

[tex]f'(x)=\frac{x(2-3x)}{3\sqrt[3]{x^4(1-x)^2} }[/tex]

[tex]f'(x)=\frac{x(2-3x)\sqrt[3]{x^2(1-x)} }{3x^2(1-x)}[/tex]

[tex]f'(x)=\frac{(2-3x)\sqrt[3]{x^2(1-x)} }{3x(1-x)}[/tex]

От тук намираш [tex]f'(x_1)=0 ; =>x_1=\frac{2}{3}[/tex] е локален екстремум

По същия начин се намира 2-рата производна.Ако не съм сбъркал сметките би трябвало да е:
[tex]f''(x)=\frac{-2\sqrt[3]{x^2(1-x)} }{9x^2(1-x)^2}[/tex]

[tex]f''(x_1)<0 ; => x_1[/tex] е локален максимум
[tex]f''(x)\ne 0[/tex] , за [tex]x\in R[/tex] следователно нямаме инфлексия

Надявам се това да ти помогне

[Anubis]

[tex]f'(x) = \frac{x(2-3x)}{3\sqrt[3]{(x^2-x^3)^2}} \quad : \quad \begin{array}{||} f'(x)>0 \\ f'(x)<0 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{||} x(2-3x)>0 \\ x(2-3x)<0 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{||} x \in \left ( 0; \, \frac{2}{3} \right ) \\ x \in (-\infty; \, 0) \cup \left ( \frac{2}{3}; \, +\infty \right ) \end{array}[/tex]

[tex]f(x)[/tex] расте в интервала [tex]\left ( 0; \, \frac{2}{3} \right )[/tex] и намалява в интервалите [tex](-\infty; \, 0) \cup \left ( \frac{2}{3}; \, +\infty \right )[/tex]. Тогава

[tex]f(0) = f_{\operatorname{min}}, \quad f \left ( \frac{2}{3} \right ) = f_{\operatorname{max}}[/tex].

Втората производна не е нужна в случая.

[Math7]

Много много благодаря Всичко вече е ясно

[math10.com]

Много интересно.Как ти стана ясно ,като нищо не е обяснено .
Например Anubis е написал ,че [tex]f(0)=0[/tex] е екстремум , но не е написал защо.Също така не е написал защо [tex]f(1)[/tex] не е екстремум.Какво се случва с точките на прекъсване на 1-вата производна?Кой са и как се наричат?
А на теб ти е ясно
Добре радваме се че помагаме

П.П. Все пак мисля че е необходима и 2-рата производна, за да определим, че няма инфлексия.При изследването на функции се иска изпъкналост и вдлъбнатост ,а те се променят при съществуващи инфлексни точки.А и трябва да проверим също дали получената нула на 1-вата производна не нулира и 2-рата ,защото тогава няма да имаме екстремум.Като пример [tex]g(x)=(x-\frac{2}{3})^3[/tex] има нула на 1-вата производна [tex]x=\frac{2}{3}[/tex] , която е инфлексия , а не екстремум.

[Anubis]

Картинката си казва всичко. Когато търсим екстремуми, гледаме само тези множители в първата

производна, за които тя сменя знака си, независимо дали е дефинирана в тях, или не е. Тогава е ясно защо

[tex]f(0)[/tex] е екстремум, а [tex]f(1)[/tex] не е.

[Anubis]

Колкото до [tex]g(x) = \left ( x - \frac{2}{3} \right )^3[/tex], вижда се веднага, че тя няма екстремуми, защото [tex]g'(x) = 3 \left ( x - \frac{2}{3} \right )^2[/tex] и

никъде не си сменя знака. Затова не трябва да се решава уравнението [tex]g'(x)=0[/tex], а неравенството

[tex]g'(x)>0[/tex], съответно [tex]g'(x)<0[/tex] (r2d2 ми го каза преди няколко години).

[monika_at]

Колкото до [tex]g(x) = \left ( x - \frac{2}{3} \right )^3[/tex], вижда се веднага, че тя няма екстремуми, защото [tex]g'(x) = 3 \left ( x - \frac{2}{3} \right )^2[/tex] и

никъде не си сменя знака. Затова не трябва да се решава уравнението [tex]g'(x)=0[/tex], а неравенството

[tex]g'(x)>0[/tex], съответно [tex]g'(x)<0[/tex] (r2d2 ми го каза преди няколко години).

[Math7]

Благодаря на всички за отговорите.

Както казах теорията и алгоритъмът, по който се решава са ми ясни.
Същественият проблем беше в производната на функцията. Там допусках грешка, но вече мога да се справя, благодарение на вашата помощ