Задача за доказателство

[pianperso]

Дадена е функцията: [tex]f(x)=\frac{20x^2+10x+3}{3x^2+2x+1}[/tex]

а) Да се докаже че [tex]\frac{5}{2 } \le f(x)\le 7[/tex] за всяко х;
б) Да се докаже, че за всяка стойност на реалния параметър m уравнението

[tex]\frac{20x^2+10x+3}{3x^2+2x+1}=x^2+2(2m-3)x +5m^2-16m+20[/tex] няма реални корени.

С първата подточка съм се справил.
Не съм сигурен дали за втората подточка логиката ми е правилна, а именно:
Разглеждам дясната страна на уравнението като отделна функция, като идеята ми е да докажа, че нейните стойности са извън интервала [[tex]\frac{5}{2}[/tex] ;7]. Минимум на втората функция се достига при х=3-2m, при което установявам, че при m=2 функцията достига своя минимум равен на 7, т.е. при х.-1, но пък лявата функция достига глобалния си максимум при х=-2.След като единствената допирна точка, която биха могли да имат двете функции по между си е 7, а те я достигат при различни стойности на х, то уравнението няма реални корени.

Проблема ми е, че не знам как да го напиша на математически език.
Ще се радвам, ако някой помогне.
Благодаря предварително!

[math10.com]

[tex]f(x)=\frac{20x^2+10x+3}{3x^2+2x+1}[/tex]

[tex]g(x)=x^2+2(2m-3)x +5m^2-16m+20[/tex]

Нека [tex]f(x)=g(x)[/tex]

[tex]g(x)[/tex] достига минимална стойност за [tex]x=3-2m[/tex] и [tex]g(3-2m)=m^2-4m+11=(m-2)^2+7\ge 7[/tex]

[tex]=>g(x)\ge 7[/tex] за всяко [tex]x\in R[/tex]

[tex]f(x) \le 7 ; g(x) \ge 7 ; =>f(x)=g(x)=7[/tex]

[tex]f(x)=7 ; =>x^2+4x+4=0 ; =>x=-2[/tex]

[tex]=>g(-2)=4-8m+12+5m^2-16m+20=7 ;=>5m^2-24m+29=0[/tex] което няма реални корени

[tex]=>f(-2)\ne g(-2)[/tex] протииворечие на допуснатото.

Следователно не съществува [tex]m[/tex] , за което [tex]f(x)=g(x)[/tex]

[pianperso]

Благодаря много!!!