Графика на кв. ф-я да отсича отсечка с най-голяма дължина

[pianperso]

Да се намерят стойностите на [tex]\alpha[/tex], за които графиката на функцията
[tex]f(x)=x^2+xsin\alpha +cos\alpha[/tex] отсича от абсцисната ос отсечка с най-голяма дължина.

Разсъжденията ми са следните:
За да пресича абсцисната ос трябва f(x)=0 => [tex]x^2+xsin\alpha +cos\alpha=0[/tex]
За да има отсечка е необходимо да имаме два корена на квадратното уравнение. Следователно условията трябва да са:
[tex]\begin{tabular}{|l}D>0\\max|x_{1 } +x_{2 }|\end{tabular}[/tex]

Проблема ми е, че не съм сигурен дали е така.
Така или иначе получавам едни резултати, които са голяма каша за мен и се оплетох.
Бих искал да видя решението, за да мога да разбера евентуално къде греша или какво пропускам.
Благодаря предварително за отделеното време!

[math10.com]

[tex]f(x)=x^2+sin a . x+cos a[/tex]
1-вото условие е да съществува отсечка
[tex]D=sin^2a-4cos a =1-cos^2a -4cos a=-(cos^2 a+4cos a-1)>0 ; =>cos a\in (-1;\sqrt{5}-2)[/tex]
2-рото условие е
[tex]max(\sqrt{(x_1-x_2)^2})=max(\sqrt{D})=2[/tex]

[kmitov]

Oтсечката е с дължина [tex]|x_1-x_3|[/tex]
и трябва да се търси [tex]\max|x_1-x_2|[/tex], което е едно и също с това [tex]max\sqrt{(x_1-x_2)^2}[/tex] или най-накрая
[tex]max(x_1-x_2)^2[/tex]. Като вземем предвид, че [tex](x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2[/tex] и използваме формулите на Виет, ще търсим максимум на функцията [tex]f(\alpha)=(-\sin \alpha)^2-4\cos \alpha=\sin^2 \alpha-4\cos \alpha.[/tex].

Ако положим [tex]\cos \alpha = t[/tex], ще разглеждаме функцията [tex]g(t)=-t^2-4t+1[/tex], при [tex]t \in [-1,1][/tex]
Понеже [tex]t_0=-\frac{b}{2a}=-2 \notin [-1,1][/tex] то най-голямата стойност ще е при [tex]t=-1[/tex], т.е. при [tex]\alpha =\pi[/tex]. Тогава уравнението ще е [tex]x^2-1=0[/tex] и разстоянието между корените ще е 2.

[pianperso]

Благодаря ВИ много за бързия и изчерпателен отговор!!!