Функция като разлика на две растящи функции?

[galissima]

Представете функцията f(x)=e^sinx като разлика на две растящи функции в интервала [0;4п]

[kmitov]

Ето едно представяне.

[tex]e^{\sin x}=(e^{\sin x} +2x) - 2x[/tex]

Че функцията [tex]y=2x[/tex] е растяща навасякъде е ясно, [tex]y'=2>0[/tex] за всяко [tex]x[/tex].

Сега да докажем, че [tex]y=e^{\sin x}+2x[/tex] също е растяща, да сметнем [tex]y'=e^{\sin x}\cos x +2[/tex]

Ще докажем, че [tex]e^{\sin x}\cos x +2 >0 \Leftrightarrow 2 > -e^{\sin x}\cos x[/tex] за всяко [tex]x \in [0,4\pi][/tex].

Разглеждаме функцията [tex]g(x)=-e^{\sin x}\cos x[/tex]

[tex]g'(x)=\sin x e^{\sin x} -e^{\sin x}\cos^2x[/tex]

[tex]e^{\sin x}(\sin x -\cos^2x)=0[/tex]

От [tex]\sin^2x+\sin x-1=0[/tex] получаваме [tex]\sin x = \frac{-\sqrt{5}-1}{2}[/tex] и [tex]\sin x =\frac{\sqrt{5}-1}{2}[/tex]

Първото уравнение няма решение. Второто уравнение има решение [tex]x_0 \in [0,\pi/2][/tex] и [tex]\pi-x_0[/tex]

От редицата [tex]x_0+2k\pi[/tex] в интервала [tex][0,\4\pi][/tex] има две стойности [tex]x_0, x_0+2\pi[/tex]

От редицата [tex]\pi-x_0+2k\pi[/tex] също има две стойности в интервала [tex][0,\4\pi][/tex] и те са
[tex]\pi-x_0, 3\pi-x_0[/tex] при всяко от тези значения на [tex]x[/tex], [tex]\sin x = \frac{\sqrt{5}-1}{2}[/tex]

За [tex]\cos x[/tex] може да се провери че [tex]\cos x_0 =\cos (x_0+2\pi)=\sqrt{ \frac{\sqrt{5}-1}{2}}[/tex]

и

[tex]\cos (\pi -x_0) =\cos (3\pi-x_0)=-\sqrt{ \frac{\sqrt{5}-1}{2}}[/tex]

Сега можем да проверим, че НГС на функцията [tex]g(x)[/tex] в интервала [tex]0,4\pi][/tex] е [tex]g(-\sqrt{ \frac{\sqrt{5}-1}{2}})=\exp(\frac{\sqrt{5}-1}{2})-\sqrt{ \frac{\sqrt{5}-1}{2}}[\approx 1.458529[/tex]

Следователно [tex]2>-e^{sin x}\cos x[/tex] за всяко [tex]x \in [0,4\pi][/tex].