Обяснение за изследване на функции...

[georgemitev]

Здравейте, прегледах 5-6 теми, включващи изследване на функции, както и определения на тази тема. Все още не ми е ясно как точно става, стъпките са ми ясни, но например като намеря 1ва производна, след това приравня числителя на нула не знам как точно да намеря НМС И НГС, както и екстремуми.. асимптоти същата работа.. ако може някой да обясни просто и накратко с по един пример ще съм много благодарен, тъй като имам изпит след 2 дни и се притеснявам..

[monika_at]

gm.png (9.15 KiB) Прегледано 2092 пъти

Аз ще направя изследване на една дробно-рационална функция.

[tex]y=f(x)=\frac{x^2+2x+6}{ x-1}[/tex] Деф. множество на ф-та е [tex]x\ne 1[/tex]Това означава, че правата линия с уравнение [tex]x=1[/tex]е вертикална асимптота и през нея не минава графиката на функцията. Въпреки това, отляво и отдясно на х=1 има точки, които са безкрайно близки до х=1 и там има графика на функцията. За да разберем как ф-та се приближава до верт.асимптота, ще пресметнем лявата и дясната граница в х=1.
Лява граница: [tex]\lim_{x \rightarrow 1-\eps }\frac{x^2+2x+6}{ x-1 }=\lim_{\eps \rightarrow 0 }\frac{(1-\eps)^2+2(1-\eps)+6}{ 1-\eps-1}= -\frac{6}{ 0} =-\infty[/tex]

Аналогично пресмятаме дясната граница, която е [tex]+\infty[/tex] Иначе казано, отляво на вертикалната асимптота графиката приближава неограничено надолу, а отдясно- неограничено нагоре. (накрая ще прикача и графика).

Тъй като [tex]\lim_{x \rightarrow \infty }\frac{x^2+2x+6}{ x-1 }=\infty[/tex]=>ф-та няма хор. асимптота. Тогава ще изследваме дали има наклонена. Ще ти кажа една тайна. Една дробно-рационална функция има наклонена асимптота, само когато степента на числителя е с 1 по-голяма от степента на знаменателя. (както в нашия пример).
Понеже наклонената ас-та е права линия, тя има уравнение: [tex]y=kx+n[/tex]

[tex]k=\lim_{x \rightarrow \infty }\frac{f(x)}{ x} =\lim_{x \rightarrow \infty } \frac{x^2+2x+6}{ x^2-x } =1[/tex]

[tex]n=\lim_{x \rightarrow \infty }(f(x)-kx)=...3=>y=2x+3[/tex]

Смятаме първа производна на частно. Тя е: [tex]f'(x)=\frac{x^2-2x-8}{(x-1)^2 }=\frac{(x-4)(x+2)}{(x-1)^2 }[/tex]. Знаменателят е положителен навсякъде в ДМ. Тогава знакът на първата производна се определя от знака на числителя=>
[tex]f'(x)>0, x\in (-\infty ; -2)\cup (4;+\infty ); f'(x)<0; x\in (-2; 4)/{{1}}[/tex]Тогава в първите два интервала ф-та расте, а във втория- намалява=>

[tex]x_{max}=-2=>f_{max}=f(-2)=-2; x_{min}=4=>f_{min}=f(4)=10[/tex]

[georgemitev]

Благодаря. Много добре сте обяснили!

[monika_at]

Благодаря. Много добре сте обяснили!

Успех на изпита:)