Екстремуми с 2 параметъра

[valka7a]

Някой би ли ми казаб как да реша тази задача?
Намерете стойностите на параметрите p и q за които y има локален екстремум от дадения вид!
y=(p-1)x на втора+2px+q и ymax(1)=0
и y=px на трета+qx на втора+1 и ymin(2)=3
Трябва ли да намеря първа производна първо и после да заместя?

[Добромир Глухаров]

В точката на екстремума първата производна има стойност [tex]0[/tex], а самата функция има дадената стойност. Така се получават две уравнения с две неизвестни, от които намираме [tex]p[/tex] и [tex]q[/tex]. Трябва само да внимаваме за дадената стойност на [tex]x[/tex] втората производна да не бъде равна на [tex]0[/tex], защото тогава бихме имали инфлексна точка, в която може да нямаме екстремум. Например [tex]y=x^3[/tex] за [tex]x=0[/tex] има инфлексна точка, която не е екстремум, а за [tex]y=x^4[/tex] същата точка ([tex]x=0[/tex]) е инфлексна точка, в която [tex]y[/tex] има и екстремум.

Освен това в точката на максимума втората производна трябва да е отрицателна, а в точката на минимума - положителна.

За първата задача получавам:
[tex]y'=2(p-1)x+2p[/tex]
[tex]y''=2p-2[/tex]
и системата: [tex]\begin{array}{|l}y'(1)=0\\y(1)=0\\y''(1)<0\end{array}\Leftrightarrow\begin{array}{|l}2(p-1).1+2p=0\\p-1+2p+q=0\\2p-2<0\end{array}\Leftrightarrow\begin{array}{|l}p=\frac{1}{2}\\q=-\frac{1}{2}\\p<1\end{array}[/tex]

А за втората:
[tex]y'=3px^2+2qx[/tex]
[tex]y''=6px+2q[/tex]
и системата: [tex]\begin{array}{|l}y'(2)=0\\y(2)=3\\y''(2)>0\end{array}\Leftrightarrow\begin{array}{|l}3p.2^2+2q.2=0\\8p+4q+1=3\\6p.2+2q>0\end{array}\Leftrightarrow\begin{array}{|l}p=-\frac{1}{2}\\q=1\frac{1}{2}\\6p+q=-1\frac{1}{2}\cancel{>}0\end{array}[/tex]

Следователно за първата задача има такива [tex]p[/tex] и [tex]q[/tex], а за втората - не.

[valka7a]

Много благодаря!

[X_EXPERT]

12.png (6.75 KiB) Прегледано 1248 пъти

Ще може ли да ми помогнете ?

[math10.com]

Pо 1-вата направи следното.Положи [tex]\frac{y}{x}=t \Right y=t.x \Right y'=t'x+t[/tex]
Така уравнението придобива вида:[tex]t'.x+t=t+e^t \Right t'.x=e^t[/tex]
и от тук на татък вече е лесно....(Имай предвид ,че [tex]t[/tex] е функция на [tex]x[/tex] т.е[tex](e^t)'=e^t.t'[/tex])
2-рата е стандартна.Намираш часните производни по [tex]x[/tex] и по [tex]y[/tex] и изследваш.

[Knowledge Greedy]

Правилното наименование на задача 2 би трябвало да бъде
"Локални екстремуми на функция с две независими променливи".
Поради съвпадане степените на два едночлена в тази задача е възможно условието да е така:

Задача 2. Намерете локалните екстремуми на функцията [tex]f(x,y)= x^3-y^3-3x^2+3y+8[/tex]
Решение:
Решаваме системата
Необходими условия.
[tex]\left|\begin{matrix}
f'_x=3x^2-6x=0\\
f'_y=-3y^2+3=0
\end{matrix}\right[/tex]
Получените решения ([tex]0;1), (2;1), (2;-1)[/tex] и [tex](0;-1)[/tex] са критичните точки, в които е възможно да има локални екстремуми.
Критерий за съществуване.
Намираме [tex]f''_{xx}= 6x-6[/tex] , [tex]f''_{yy}=-6y[/tex] и [tex]f''_{xy}=0[/tex]
Формираме величината [tex]\Delta (x,y)=f''_{xx}f''_{yy}-\left ( f''_{xy} \right )^2[/tex]
[tex]\Delta (x,y)=36(1-x)y[/tex]
и я пресмятаме в критичните точки.
[tex]\Delta (0,1)=36>0[/tex][tex]\Rightarrow f(x,y)[/tex] има локален екстремум.
[tex]\Delta (1,1)=0[/tex][tex]\Rightarrow[/tex] за [tex]f(x,y)[/tex] не може да се каже дали има локален екстремум.
[tex]\Delta (2,-1)=36>0[/tex][tex]\Rightarrow f(x,y)[/tex] има локален екстремум.
[tex]\Delta (0,-1)=-36<0[/tex][tex]\Rightarrow f(x,y)[/tex] няма локален екстремум.
Определяме вида на екстремумите според знака на [tex]f''_{xx}[/tex] в критичната точка.
[tex]f''_{xx}(0;1)=-6[/tex][tex]\Rightarrow f(x,y)[/tex] има локален максимум в (0;1).
[tex]f''_{xx}(2;-1)=6[/tex][tex]\Rightarrow f(x,y)[/tex] има локален минимум в (2;-1).
Cтойности на екстремумите.
[tex]f_{min}(x,y)=f(2;-1)=2^3-(-1)^3-3.2^2+3.(-1)+8=2[/tex]
[tex]f_{max}(x,y)=f(0;1)=0^3-1^3-3.0^2+3.1+8=10[/tex]
Пресмятаме и
[tex]f(1;1)=1^3-1^3-3.1^2+3.1+8=3[/tex],
с което се уверяваме, че локалните екстремуми са намерените по-горе (вероятно точката [tex](1;1)[/tex] е седлова).