2cos ax - 3tg^2 x -2=0 има точно едно решение

[abc]

За кои стойности на параметъра а уравнението 2cos ax - 3tg^2 x -2=0 има точно едно решение.

[pal702004]

[tex]\cos(ax)=\frac 3 2 \tan^2(x)+1[/tex] Минимума на дясната част на уравнението е равен на максимума на лявата. За да има решение е необходимо:
[tex]\sin(x)=0[/tex]
[tex]\cos(ax)=1[/tex]

[tex]x=\pi k[/tex]
[tex]ax=2\pi n[/tex]

[tex]a=\frac{2n}{k}\quad n,k \in Z[/tex]

Тоест, за да има решение уравнението е необходимо (и достатъчно) параметърът "а" да е рационален. Но за всяко рационално [tex]a=\frac u v[/tex] Уравнението има безброй много решения [tex]x=2vk\pi[/tex]. Така че уравнението или няма решения, при ирационално а, или има безброй много решения при рационално. Точно едно решение не може да има.

[drago]

...Тоест, за да има решение уравнението е необходимо (и достатъчно) параметърът "а" да е рационален...

Идеята е ОК, но какво ще кажеш за [tex]k=n=0[/tex] и съответно [tex]x=0[/tex]. Май задачата си е коректна и за [tex]a[/tex] ирационално има само едно решение [tex]x=0[/tex].

[pal702004]

Прав си, Драго. Груба грешка от моя страна.