Кординати на допирна точка

[abc]

Правата с уравнение у= -10х +1 е допирателна към Гf на y=f(x)= x^3 - 5х^2 - 3x -2. Да се намерят кординатите на допирната точка.

[Anubis]

От [tex]f(x)=x^3-5x^2-3x-2 \Rightarrow f'(x)=3x^2-10x-3[/tex].

Уравнението на допирателната към графиката на [tex]f(x)[/tex] в точката [tex](x_{0}; \, f(x_{0}))[/tex] е

[tex]y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})[/tex].

Понеже [tex]f(x_{0})=x_{0}^3-5x_{0}^2-3x_{0}-2, \, f'(x_{0})=3x_{0}^2-10x_{0}-3[/tex], уравнението на допирателната става

[tex]y=\fbox{(3x_{0}^2-10x_{0}-3)}.x+\fbox{(-2x_{0}^3+5x_{0}^2-2)}[/tex] (в Декартов вид).

Допирателната в нашия случай е [tex]y=-10x+1[/tex] и нейното уравнение трябва да съвпада с построеното от

нас току-що. Така получаваме [tex]x_{0}=1[/tex]. Допирната точка е [tex](1; \, -9)[/tex].