Парабола

[abc]

Парабола с връх върху абцисната ос се допира до правата y=x в точкатa A (-1;-1) . Да се намери уравнението на параболата.

[pal702004]

Трябва да определиш стойностите на [tex]b^2-4ac,\quad f(-1),\quad f'(-1)[/tex] и да решиш системата.

[Anubis]

Понеже квадратният тричлен се разлага във вида [tex]y=a(x-x_{1})(x-x_{2})[/tex], то при [tex]x_{1}=x_{2}=b[/tex]

получаваме, че графиката на параболата има само една обща точка с абсцисната ос и [tex]y=a(x-b)^2[/tex].

Тогава нашата парабола ще има вида [tex]y=a(x-b)^2[/tex] с някакви коефициенти [tex]a, \, b[/tex].

Пресмятаме [tex]y'=2a(x-b)[/tex].

Уравнението на допирателната към графиката на функцията [tex]f(x)[/tex] в точката от графиката [tex](x_{0}; \, f(x_{0}))[/tex] е

[tex]y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})[/tex].

В нашия случай уравнението трябва да изглежда [tex]y=\fbox{2a(-1-b)}.x+\fbox{a(-1-b)^2+2a(-1-b)}[/tex], където

сме използвали, че [tex](x_{0}; \, f(x_{0}))=(-1; \, -1)[/tex].

Тъй като по условие допирателната е [tex]y=x=\fbox{1}.x+\fbox{0}[/tex], решаваме системата

[tex]\begin{array}{||} 2a(-1-b)=1 \\ a(-1-b)^2+2a(-1-b)=0 \end{array}[/tex]

и получаваме [tex]a=-\frac{1}{4}, \, b=1[/tex]. Уравнението на параболата е [tex]y=-\frac{1}{4}(x-1)^2[/tex].