Допирателна към графика

[abc]

За кои стойности на параметъра к допирателната към графиката Гf на y= f(x) = k.x^2 образува с оста Ох ъгъл, равен на π/3 и отсича от четвърти квадрант триъгълник с лице 8√3/3.

[Anubis]

Аз ще разгледам случая [tex]k>0[/tex], защото ми е най-удобен. Другите случаи се разглеждат аналогично.

Ако [tex](x_{0}; \, f(x_{0}))[/tex] е допирната точка, тогава уравнението на допирателната в тази точка е

[tex]\operatorname{tangent}: \, y=(2kx_{0}).x-kx_{0}^2[/tex].

Тази допирателна сключва ъгъл [tex]\frac{\pi}{3}[/tex] с положителната посока на абсцисната ос, откъдето

[tex]f'(x_{0})=\tan\frac{\pi}{3}=\fbox{\sqrt{3}=2kx_{0}}[/tex].

Пресечните точки на допирателната с координатните оси са [tex]A\left ( \frac{x_{0}}{2}; \, 0 \right )[/tex] и [tex]B\left ( 0; \, -kx_{0}^2\right )[/tex]. Лицето на

получения в 4 квадрант триъгълник е [tex]S_{\triangle AOB} = \frac{|AO|.|BO|}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{x_{0}}{2} \cdot kx_{0}^2 = \fbox{\frac{kx_{0}^3}{4} = \frac{8\sqrt{3}}{3}}[/tex].

Понеже [tex]k>0, \, x_{0}>0[/tex], получаваме [tex]x_{0}=\frac{8}{\sqrt{3}}, \, k=\frac{3}{16}[/tex].

Ето и кода на Mathematica, който решава задачата.

Код: Избери целия код

sol = Solve[{2*k*x0 == Sqrt[3],
    k*x0^3/4 == 8*Sqrt[3]/3 && x0 > 0 && k > 0}, {k, x0}];
K = k /. sol[[1]];
X0 = x0 /. sol[[1]];
h1[x_] := K*x^2;
h2[x_] := (2*K*X0)*x - K*X0^2;
f1 = K*x^2;
t1 = (2*K*X0)*x - K*X0^2;
p1 = Plot[{f1, t1}, {x, -2, 7}, PlotStyle -> {Blue, Green}];
p2 = ListPlot[{{X0, h1[X0]}},
   PlotStyle -> {Blue, PointSize -> 0.0150}];
Show[p1, p2]