Стойности на параметър

[abc]

Да се намерят стойностите на а, за които допирателната към параболата y = f(x) = 2x^2 +3x + 5 в точката с абциса х0 = -2 е допирателна и към параболата y = g(x) = -х^2 +4x +a

[Knowledge Greedy]

Допирателната към първата парабола [tex]y=2x^2+3x+5[/tex] в точката [tex]x_0=-2[/tex]
е ясна - правата с уравнение [tex]y=-5x-3[/tex].

Втората парабола [tex]y=g(x)=-4x^2+4x+a[/tex] има производна [tex]y^'=-8x+4[/tex] и за равенство на наклоните на допирателните трябва [tex]-8x+4=-5[/tex].
Получихме, че това може да стане единствено в точката [tex]T\left ( \frac{9}{8} ;... \right )[/tex] от втората парабола.
Дотук написаното е за успоредност на допирателните, а за съвпадане - при [tex]x=\frac{9}{8}[/tex]
съответната ордината е [tex]-\frac{69}{8}[/tex].Следователно [tex]T\left ( \frac{9}{8} ;-\frac{69}{8} \right )[/tex]
За да намерим параметъра [tex]a[/tex], трябва да решим уравнението [tex]g(x)=-5x-3[/tex] относно [tex]a[/tex], при [tex]x=\frac{9}{8}.[/tex]
То изразява факта, че допирната точка [tex]T[/tex] е обща за втората параболата и нейната допирателна.
Резултатът е [tex]a=-\frac{129}{16}[/tex]

По-кратко и прегледно щеше да е решението с вид на система, но така е по-интригуващо