Най-малка стойност

[abc]

Допирателната към графиката Гf на функцията y = f(x)= x^2 - 12 отсича от координатните оси триъгълник. Да се намери най-малката възможна стойност на лицето на този триъгълник.

[Anubis]

Нека [tex](x_{0}; \, f(x_{0}))[/tex] е допирната точка. Разглеждаме случая [tex]x_{0}>0[/tex]. Другият случай е аналогичен.

Допирателната към [tex]f(x)=x^2-12[/tex] има уравнение [tex]\operatorname{tangent}: \, y = \left ( 2x_{0} \right )x-x_{0}^2-12[/tex].

Нейните пресечни точки с координатните оси са [tex]A \left ( \frac{x_{0}^2+12}{2x_{0}}; \, 0 \right )[/tex] и [tex]B \left ( 0; \, -x_{0}^2-12 \right )[/tex].

[tex]S_{\triangle AOB} = \frac{|OA|.|OB|}{2} = \frac{\left ( x_{0}^2+12 \right )^2}{4x_{0}}[/tex]

Означаваме [tex]h(x_{0}) = \frac{\left ( x_{0}^2+12 \right )^2}{4x_{0}}[/tex]. Имаме [tex]h'(x_{0}) = \frac{(x_{0}^2+12).(3x_{0}^2-12)}{4x_{0}^2}[/tex].

[tex]\begin{array}{||} h'(x_{0}) \ge 0 \\ h'(x_{0}) \le 0 \end{array} \Rightarrow \begin{array} {||} x_{0}^2-4 \ge 0 \\ x_{0}^2-4 \le 0 \end{array}[/tex], откъдето получаваме [tex]h(2) = h_{\operatorname{min}} = 32[/tex].

Кодът на Mathematica, с който са изчертани графиките.

Код: Избери целия код

par = x^2 - 12;
x01 = 2; x02 = -2;
tan1 = (2*x01)*x - x01^2 - 12;
tan2 = (2*x02)*x - x02^2 - 12;
A1 = {(x01^2 + 12)/(2*x01), 0}; B1 = {0, -x01^2 - 12};
A2 = {(x02^2 + 12)/(2*x02), 0}; B2 = {0, -x02^2 - 12};
pPar = Plot[{par, tan1, tan2}, {x, -8, 8},
   PlotStyle -> {Cyan, Green, Red}];
pTan1 = ListPlot[{A1, B1},
   PlotStyle -> {Orange, PointSize -> 0.0150}];
pTan2 = ListPlot[{A2, B2},
   PlotStyle -> {Orange, PointSize -> 0.0150}];
Show[pPar, pTan1, pTan2]
Minimize[{f, x0 > 0}, x0]