Стойностите на реалния параметър а

[fordracing]

Здравейте, пиша за първи път тук защото имам нужда от помощ с тази задача. Тя е от сборника на Чакърян. Пробвах всичко което се сетих на не можах да изкарам отговорите: a[tex]\in[/tex](0,1)[tex]\cup[/tex] (1,[tex]\frac{6}{5 }[/tex] ) .
Eто я и задачата:
Да се намерят стойностите на реалния параметър а, за които уравнението ax^2 +x+a-1=0 има два различни реални корена x1 и x2, такива че |[tex]\frac{1}{x1 }[/tex] - [tex]\frac{1}{x2}[/tex] |>1

Благодаря ви много

[math10.com]

[tex]D=1-4a(a-1)=1-4a^2+4a>0 \Right a\in (\frac{1-\sqrt{2}}{2};\frac{1+\sqrt{2}}{2})[/tex]

[tex]|\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}|>1 \Right \frac{(x_2-x_1)^2}{(x_1x_2)^2}>1[/tex]

[tex]\Right \frac{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}{(x_1x_2)^2}>1[/tex] , заместваме с формулите на Виет...

[tex]\Right \frac{(-\frac{1}{a})^2-\frac{4(a-1)}{a}}{\frac{(a-1)^2}{a^2}}>1 ;DM a\ne 0 ; a\ne 1[/tex]

[tex]\Right \frac{\frac{1-4a(a-1)}{a^2}}{\frac{(a-1)^2}{a^2}}>1[/tex]

[tex]\Right \frac{1-4a^2+4a}{(a-1)^2}>1[/tex]

[tex]\Right \frac{1-4a^2+4a-a^2+2a-1}{(a-1)^2}>0[/tex] , знаменателя е по-голям от 0 за всяко [tex]a\in DM[/tex]

[tex]\Right -5a^2+6a>0[/tex]

[tex]\Right -5a(a-\frac{6}{5})>0[/tex]

[tex]\Right a(a-\frac{6}{5})<0[/tex]

[tex]\Right a\in (0;\frac{6}{5})[/tex] ,но [tex]a\ne 1 \Right a\in (0;1)\cup(1; \frac{6}{5})[/tex]

[fordracing]

Намерих си грешката. Много, много благодаря за точното и бързо решение !

[fordracing]

А мога ли да попитам защо когато се освобождаваме от модула пишем само
|[tex]\frac{1}{x_1}[/tex]-[tex]\frac{1}{x_2}[/tex]|>1[tex]\Right \frac{(x_2-x_1)^2}{(x_1x_2)^2}[/tex]>1
Не трябва ли да има и
|[tex]\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}[/tex]|>1 [tex]\Right \frac{(x_2-x_1)^2}{(x_1x_2)^2}[/tex]<-1
защото аз съм го учил ето така(извадка от сайта solemabg.com):

Ако имаме неравенството |f(x)| > c, където c е число, то решенията му зависят от числото с
При c ≤ 0 неравенството има решение за всяко x;
При c > 0 даденото неравенство се разпада на две неравенства
(4): f(x) > c или f(x)<–c.

Благодаря ви много отново

[monika_at]

Не. Добре де, може ли едно число на втора степен да е по-малко от -1? Такова н-во няма решение.

[fordracing]

Аз не си зададох въпроса правилно.
|[tex]\frac{1}{x_1}[/tex]-[tex]\frac{1}{x_2}[/tex]|>1
няма ли да е равно на
[tex]\frac{x_{2}-x_{1}}{x_{1}x_{2}}[/tex]>1
и на
[tex]\frac{x_{2}-x_{1}}{x_{1}x_{2}}[/tex]<-1
Просто не ми е ясно как се получава това
|[tex]\frac{1}{x_1}[/tex]-[tex]\frac{1}{x_2}|[/tex]>1[tex]\Right \frac{(x_2-x_1)^2}{(x_1x_2)^2}[/tex]>1
защото не съм го учил

[monika_at]

Такаа....
[tex]|x|>1=>x<-1\cup x>1=>x\in (-\infty ; -1)\cup (1;+\infty )[/tex]
Тук си абсолютно прав.. Но, ако погледнем първоначалното неравенство, двете му стани имат еднакви знаци и спокойно можем да повдигнем на втора. Какво ще получим?
[tex]x^2>1=>x^2-1>0=>(x-1)(x+1)>0=>x\in (-\infty ; -1)\cup (1;+\infty )[/tex]

Двата метода са еквивалентни.

math10.com е ползвал втория с повдигане на квадрат, защото така свежда израза до израз, в който участват само сборът и произведението на корените и ползва Виет.
Първият метод също ще е правилен. Тогава в модулните скоби ще имаш:

[tex]|x_1-x_2|=|\frac{-b+\sqrt{D} }{ 2a} -\frac{-b-\sqrt{D} }{ 2a}| =\frac{\sqrt{D} }{a }[/tex]

[inveidar]

Ако можеш, да сложиш а-то в модул все пак, а?

[monika_at]

Такаа....
[tex]|x|>1=>x<-1\cup x>1=>x\in (-\infty ; -1)\cup (1;+\infty )[/tex]
Тук си абсолютно прав.. Но, ако погледнем първоначалното неравенство, двете му стани имат еднакви знаци и спокойно можем да повдигнем на втора. Какво ще получим?
[tex]x^2>1=>x^2-1>0=>(x-1)(x+1)>0=>x\in (-\infty ; -1)\cup (1;+\infty )[/tex]

Двата метода са еквивалентни.

math10.com е ползвал втория с повдигане на квадрат, защото така свежда израза до израз, в който участват само сборът и произведението на корените и ползва Виет.
Първият метод също ще е правилен. Тогава в модулните скоби ще имаш:

[tex]|x_1-x_2|=|\frac{-b+\sqrt{D} }{ 2a} -\frac{-b-\sqrt{D} }{ 2a}| =\frac{\sqrt{D} }{a }[/tex]

Сори Благодаря ти, Емо:)

[tex]|x_1-x_2|=|\frac{-b+\sqrt{D} }{ 2a} -\frac{-b-\sqrt{D} }{ 2a}| =\frac{\sqrt{D} }{|a |}[/tex][/quote]

[math10.com]

Аз не си зададох въпроса правилно.
|[tex]\frac{1}{x_1}[/tex]-[tex]\frac{1}{x_2}[/tex]|>1
няма ли да е равно на
[tex]\frac{x_{2}-x_{1}}{x_{1}x_{2}}[/tex]>1
и на
[tex]\frac{x_{2}-x_{1}}{x_{1}x_{2}}[/tex]<-1
Просто не ми е ясно как се получава това
|[tex]\frac{1}{x_1}[/tex]-[tex]\frac{1}{x_2}|[/tex]>1[tex]\Right \frac{(x_2-x_1)^2}{(x_1x_2)^2}[/tex]>1
защото не съм го учил

Sorry
Може би трябваше да го разясня .Това е много готин метод за решаване на модулни неравенства.Не зная защо в училище избягват да го споменат."monika_at" го е описала в поста си.Метода е следния:Повдигаме на квадрат и двете страни на неравенството(това е възможно само когато и двете страни са неотрицателни).След това разлагаме с помощта на формулата за съкратено умножение [tex]a^2-b^2=(a-b)(a+b)[/tex]изучавана в 7-ми клас.По този начин ще получим неравенство еквивалентно на даденото модулно.Използваме само метод на интервалите и спестяваме описването посредством система неравенства.

[MENKA]

Аз не си зададох въпроса правилно.
|[tex]\frac{1}{x_1}[/tex]-[tex]\frac{1}{x_2}[/tex]|>1
няма ли да е равно на
[tex]\frac{x_{2}-x_{1}}{x_{1}x_{2}}[/tex]>1
и на
[tex]\frac{x_{2}-x_{1}}{x_{1}x_{2}}[/tex]<-1
Просто не ми е ясно как се получава това
|[tex]\frac{1}{x_1}[/tex]-[tex]\frac{1}{x_2}|[/tex]>1[tex]\Right \frac{(x_2-x_1)^2}{(x_1x_2)^2}[/tex]>1
защото не съм го учил

1>0
Затова могат и двете страни да се повдигнат спокойно на квадрат.Модулът в случая е по->0 от ,защото и дясната страна е по->0.
След това за преобразованията-виж mat10.

[inveidar]

Модулът винаги е неотрицателен! По определение. Това, че в случая е по-голям от нула е несъществен факт, защото както стана въпрос по-горе, двете страни на неравенството трябва да са неотрицателни, за да е равносилно повдигането на втора степен. И това едно от най-важните неща, които СЕ учат в училище. Нали така решаваме ирационални уравнения и неравенства, сравняваме числа и т.н? Другите важни и наглед дребни неща, които се учат в училище, но повечето от учениците по незнайни за мен причини (най-вероятно от нежелание да мислят!) не могат да запомнят е, че на нула не се дели и когато делим двете страни на неравенство, то винаги трябва да знаем знака на това, на което делим. От последното идва грешката с премахването на знаменателите в уравненията и особено в неравенствата.