Да се намерят стойностите на реалния параметър "a"

[emilsim]

Да се намерят стойностите на реалния параметър a, за които неравенствата са изпълнени за всяко реално число x:
0 [tex]\le[/tex] [tex]\frac{x^2+ax+1}{x^2+x+2}[/tex] [tex]\le 2[/tex]

Упътване:
a [tex]\in[/tex] [ 2-2[tex]\sqrt{3}[/tex] ; 2] . Тъй като[tex]x^2+x+2>0[/tex] за всяко x, дадените неравенства са равносилни с [tex]x^2+ax+1[/tex][tex]\ge[/tex]0 и [tex]x^2+(2-a)x+3[/tex][tex]\ge[/tex]0 . Тези неравенства са изпълнени за всяко реално x точно когато [tex]D_1[/tex][tex]= a^2-4[/tex][tex]\le[/tex]0 и [tex]D_2[/tex] = [tex](2-a)^2[/tex] [tex]-12=a^2-4a-8[/tex] [tex]\le[/tex] 0.
Оттук получаваме сътветно a[tex]\in[/tex][-2;2] и a[tex]\in[/tex] [2-2[tex]\sqrt{3}[/tex] ; 2+2[tex]\sqrt{3}[/tex] ], т.е.
a[tex]\in[/tex] [2-2[tex]\sqrt{3}[/tex] ; 2].

Задачата е написана в раздел "Квадратна функция" и качвам упътване, защото един математик не можа да я реши.
Аз нищо не разбирам от задачата и ако може да обясните подробно решението.

[Knowledge Greedy]

Не вярвам, че математикът не е могъл да я реши . По-скоро не я е обяснил като хората .

Ще проследя упътването.
Имаме дроб [tex]\frac{x^2+ax+1}{x^2+x+2}[/tex]. Знаменателят на тази дроб [tex]x^2+x+2[/tex] е винаги (т.е. за всяко [tex]x[/tex]) положителен, защото неговата дискриминанта [tex]D=1-4.2.1=-7[/tex] e отрицателна.
Следователно лявото неравенство
[tex]0\le \frac{x^2+ax+1}{x^2+x+2}[/tex] ще бъде изпълнено за всяко [tex]x[/tex], точно тогава - когато и числителят и
[tex]x^2+ax+1[/tex] за всяко [tex]x[/tex] е положителен [tex]x^2+ax+1\ge 0[/tex]. А това последното е изпълнено точно когато [tex]D_1= a^2-4\le0[/tex] - както е казано в упътването.

Сега гледаме дясното неравенство.
[tex]\frac{x^2+ax+1}{x^2+x+2}\le2[/tex]
Вече видяхме, че знаменателят е положителен, значи може да се освободим от него.
[tex]x^2+ax+1\le 2(x^2+x+2)[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]x^2+ax+1\le 2x^2+2x+4[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]x^2-2x^2+ax-2x+1-4\le 0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]-x^2+(a-2)x-3\le 0[/tex]
и получаваме второто неравенство
[tex]x^2-(a-2)x+3\le 0[/tex], за което също се иска да е изпълнено за всяко [tex]x[/tex].
Значи неговата дискриминанта [tex]D_2 \le 0[/tex].
[tex]D_2 = (2-a)^2 -12=a^2-4a-8 \le 0[/tex].
Получихме системата
[tex]\begin{array}{|l}
D_1\leq 0\\
D_2\leq 0
\end{array}[/tex]
или
[tex]\begin{array}{|l}
a^2-4\leq 0\\
a^2-4a-8 \le 0
\end{array}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\begin{array}{|l}
(a-2)(a+2)\leq 0\\
(a-2-2\sqrt{3} )(a-2+2\sqrt{3}) \le 0
\end{array}[/tex]
Решаваме поотделно двете неравенства. Първото дава [tex]-2\le a\le 2[/tex] - точно както е в упътването.
Второто дава [tex]2-2\sqrt{3}\le a\le 2+2\sqrt{3}[/tex] - точно както е в упътването.
Засичаме двата интервала

Параметърът a ... за всяко x.PNG (1.7 KiB) Прегледано 1752 пъти

и записваме отговора
[tex]a\in [2-2\sqrt{3} ; 2].[/tex]

[emilsim]

Много благодаря!
Не знам защо не мога да разбера нищо от тези упътвания..

[monika_at]

Knowledge Greedy, само на второто неравенство не си сменил посоката, като си умножил по (-1), но всичко останало е точно.

[Knowledge Greedy]

Много благодаря!
Не знам защо не мога да разбера нищо от тези упътвания..

Това, което се използва е само едно квадратно неравенство - най-лесното от всичко, което се учи в IX и X клас.
Ако дискриминантата на квадратния тричлен [tex]x^2+px+q[/tex] е отрицателна, то квадратното неравенство [tex]x^2+px+q>0[/tex] има за решение всяко реално число [tex]x[/tex].
Явно е обаче, че не знаеш как се решава квадратно неравенство, а за метод на интервалите сигурно не си чувал ?

[Knowledge Greedy]

О, да!

Knowledge Greedy, само на второто неравенство не си сменил посоката, като си умножил по (-1), но всичко останало е точно.

Второто неравенство е [tex]x^2-(a-2)x+3 x\ge0[/tex] .

[nKolchakoV]

О, да!

Knowledge Greedy, само на второто неравенство не си сменил посоката, като си умножил по (-1), но всичко останало е точно.

Второто неравенство е [tex]x^2-(a-2)x+3 x\ge0[/tex] .

Някой може ли да обясни, защо посоката на неравенството на Дискриминантата е обратна на тази на квадратното неравенство.

[ptj]

Дискриминантата на едно квадратно неравенство е отрицателна, тогава и само тогава когато неговата графика е или изцяло над или изцяло под абцисната ос, т.е. самото неравенство приема или само положителни или само отрицателни стойности за всяко [tex]x[/tex] от дефиниционното му множество.

В този случай знака му е еднакъв със знака на старшия член на неравенство (т.е. знака на [tex]a[/tex]).

[nKolchakoV]

Дискриминантата на едно квадратно неравенство е отрицателна, тогава и само тогава когато неговата графика е или изцяло над или изцяло под абцисната ос, т.е. самото неравенство приема или само положителни или само отрицателни стойности за всяко [tex]x[/tex] от дефиниционното му множество.

В този случай знака му е еднакъв със знака на старшия член на неравенство (т.е. знака на [tex]a[/tex]).

Благодаря ти много !! Имам още един въпрос.
Да се намерят стойностите на реалния параметър 'а', за които неравенството няма решение:
ax^2 - x + 1 < 0
В упътването пише: Даденото неравенство няма решение точно когато ax^2 - x + 1 >= 0 за всяко x.
Че е '>' ясно, не трябва да докосва абцисата. Но защо е сложено и равно ?
Как се стига до този извод. Защо да няма решение точно тогава ?

[ptj]

"По-малко" е логическо отрицание на "по-голямо или равно".
"За никое[tex]x[/tex](не съществува [tex]x[/tex])" е логическо отрицание на "за всяко [tex]x[/tex]".
В упътването са използвали един закон, който вие възприемате интуитивно,а той е
[tex]\forall x : F(x)\Leftrightarrow \bar{\exists} x : \bar{F}(x)[/tex]

Т.е. твърдението "не съществува [tex]x[/tex], за което е изпълнено [tex]F(x)<0[/tex]"
е еквивалентно на "за всяко [tex]x[/tex] е изпълнено [tex]F(x)\ge 0[/tex]".