Локален екстремум

[Zarrie]

Здравейте, започнах да се задълбочавам в изследването на функции и достигнах до лек момент на объркване...

аз пак да си питам....jpg (123.53 KiB) Прегледано 1541 пъти

Защо точките c и д се считат за максимум и минимум, като очевидно в интервала има точки, за които функцията би приела по-големи и малки стойности ? Примерно самите точки а и б, а ако не те, то всяка точка след тях и преди достигането до посочените екстремуми?
Моля, обяснете ми защо е така

[monika_at]

Зари, има разлика между локален максимум, съответно локален минимум и абсолютен максимум (НГС), съответно абсолютенминимум (НМС) в интервал.

НА чертежа лок. максимум в е в т.х=с, защото в тази точка ф-та от намаляваща става растяща и в достатъчно малка околност на х=с, [tex]f(c)[/tex]е най-малката стойност в тази околност. Респективно за лок. максимум.
Иначе от чертежа е видимо, че за интервала [tex][a;b][/tex]НГС на ф-та е в т.х=а, а НМС е в т.х=b.

[Zarrie]

Как се надявах точно Вие да ми обясните ! Благодаря! Явно не правя разлика между локален екстремум и НГ/НМ С

[Добромир Глухаров]

Трябва да се прави разлика между локален и глобален екстремум. В дадения пример функцията [tex]f(x)[/tex] я разглеждаме в интервала [tex][a,b][/tex]. В точките [tex]c[/tex] и [tex]d[/tex] функцията има локални екстремуми - в [tex]c[/tex] характерът на функцията се изменя от намаляваща в растяща - имаме локален минимум; в [tex]d[/tex] - от растяща в намаляваща - локален максимум. От друга страна [tex]f(a)[/tex] е най-голямата стойност на функцията в интервала [tex][a,b][/tex] - в [tex]a[/tex] имаме глобален максимум. [tex]f(b)[/tex] е най-малката стойност на функцията в интервала [tex][a,b][/tex] - в [tex]b[/tex] имаме глобален минимум.
Тези екстремуми се означават така: [tex]\max_{x\in[a,b]}f(x)=f(a);\ \min_{x\in[a,b]}f(x)=f(b);\ f_{min}=f(c);\ f_{max}=f(d)[/tex].

Забележка: Глобалните екстремуми в даден интервал са единствени - един глобален максимум и един глобален минимум. Локалните екстремуми могат да бъдат и по повече от един, а също може да нямаме например локален максимум, или локален минимум, или и двата (когато функцията е растяща или намаляваща в целия интервал).

П.С. Съжалявам - изпреварили са ме. Но не ми се ще да си трия публикацията.

[Zarrie]

Благодаря Ви за обширното пояснение Разбрах каква е разликата между локален и глобален екстремум и отговорих на въпросите си.

[monika_at]

И още нещо.
Прословутата теорема на Вайерщрас.

"Всяка непрекъсната функция в краен и затворен интервал достига НГС и НМС."