Лявата страна е полином със симетрични коефициенти. Ясно е, че при [tex]x=0=>f(x)=1>0[/tex].
Нека сега разгледаме всички [tex]x\ne 0[/tex]. Ще разделим двете страни на неравенството на [tex]x^2[/tex] и ще групираме по равните коефициенти. Тогава:
[tex]f(x)=x^2+\frac{1}{x^2 } +a(x+\frac{1}{x } )+a+1[/tex]. Полагаме [tex]x+\frac{1}{ x}=t=>x^2+\frac{1}{x^2 } =t^2-2[/tex].
Лявата страна добива вида [tex]g(t)=t^2+at+a+1[/tex]
От неравенството на Коши =>[tex]x+\frac{1}{ x} \ge 2[/tex],за [tex]x>0[/tex] и [tex]x+\frac{1}{ x} \le - 2[/tex],за [tex]x<0[/tex].
Тогава задачата се свежда до следната задача:
За кои стойности на [tex]a\in R[/tex], неравенството [tex]t^2+at+a+1>0[/tex]за всяко [tex]t\le -2[/tex] и [tex]t\ge 2[/tex].
Тук задачата се свежда до разпределение на корените на квадратно неравенство. От тук следва две възможности:
1)[tex]D<0[/tex]
2)[tex]g(t)[/tex] има реални корени.
Параболата е обърната нагоре и за да бъде над оста х за всички [tex]t\le -2[/tex] и [tex]t\ge 2[/tex], трябва корените [tex]t_1; t_2\in (-2; 2)[/tex].Това е еквивалентно на следната система:
[tex]D\ge 0; f(-2)>0; f(2)>0; -2<-\frac{B}{ 2A} <2[/tex] (А и В са коефициентите пред втората и първата степени)
1)[tex]D<0=>a\in (2-2\sqrt{2} ;2+2\sqrt{2} )[/tex]
2)[tex]D\ge 0=>a\in (-\infty ; 2-2\sqrt{2}]\cup[ 2+2\sqrt{2}; +\infty )[/tex]
[tex]f(-2)>0=>a<5[/tex]
[tex]f(2)>0=>a>-\frac{5}{ 3}[/tex]
[tex]-2<-\frac{B}{ 2A} <2=>-4<a<4[/tex]
Сечението на системата е [tex]a\in (-\frac{5}{3} ; 2-2\sqrt{2} ][/tex]
Обединявайки решенията на (1) и (2) получаваме: [tex]a\in (-\frac{5}{3 } ; 2+2\sqrt{2})[/tex]
"Колкото повече изследваме Вселената, толкова по-ясно става, че е единична мисъл на велик математик!"
Сър Джеймс Джинс
Меню
