Производна на сложна ф-я

[Zarrie]

Здравейте, днес учихме за производна на сложна функция, но мисля, че не всичко ми стана ясно. Може ли някой да ми обясни защо производната на [tex]sin4x[/tex] не е [tex]cos4x[/tex]?
Защо аргумента ни пречи? Аз правя аналог с формулите за удвоен аргумент, в които дори да имаме [tex]sin4x[/tex] можем да го разгледаме като [tex]sin2*2x[/tex] и отново да приложим формулата, та въпросът ми е защо при намирането на производна не се получава така?
Благодаря предварително!

[kmitov]

Ако имаме две функции [tex]f(u)[/tex] и [tex]u(x)[/tex] и образуваме съставната функция [tex]F(x)=f(u(x))[/tex] , то [tex]F'(x)=f'(u).u'(x)[/tex]. Taка [tex]\left(\sin u(x) \right)'=(\cos u(x)).u'(x)[/tex].
В частния случай, когато [tex]u(x)=4x[/tex], [tex](\sin 4x)'= (\cos 4x).(4x)'=(\cos 4x).4[/tex]

[Zarrie]

Благодаря Ви, а може ли да ви помоля същия този пример да го разпишете като частно от разликите на функциите, т.е. по дефиницията на производна?

[kmitov]

[tex]\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=\frac{f(u(x+h))-f(u(x))}{h}=\frac{f(u(x+h))-f(u(x))}{u(x+h)-u(x)}\times \frac{u(x+h)-u(x)}{h}[/tex]
Kато означиш [tex]u(x+h)-u(x)=\Delta u[/tex] ще имаш [tex]u(x+h)=u(x)+\Delta u[/tex] и ще се получи

[tex]\frac{f(u(x)+\Delta u)-f(u(x))}{\Delta u}\times \frac{u(x+h)-u(x)}{h}[/tex]. Ако сега [tex]h \to 0[/tex] и съществува [tex]u'(x)[/tex], то вторият множител ще клони към [tex]u'(x)[/tex], но тогава функцията [tex]u[/tex] ще е непрекъсната в точката [tex]x[/tex] и следователно [tex]u(x+h) \to u(x)[/tex], т.е. [tex]\Delta u \to 0[/tex]. Тогава, ако съществува производната на [tex]f[/tex] в точката [tex]u=u(x)[/tex], то първата дроб ще клони към [tex]f'(u).[/tex]

[Zarrie]

Благодаря Ви