Граници на функция, Правило на Лопитал, Локални екстремули

[kikchy]

Здравейте, може ли решенията защото се затруднявам

1) [tex]\lim_{x \to +-\infty } =\frac{3x ^4 +5x^6-2}{x^2+3x^3+1}[/tex]

2) [tex]\lim_{x \to +-\infty } =\frac{4x ^5 -3x^2+x-9}{x^2+2x^4-3x^5}[/tex]

3) [tex]\lim_{x \to +-\infty } =\frac{3x ^2 +x^4-3x}{3x-2x^2+5}[/tex]

4) [tex]\lim_{x \to +-\infty } =\frac{x ^6 -2x^3+x+2}{3x^4-9+2x^7}[/tex]

5) [tex]\lim_{x \to 1 } =\frac{x^2-1}{x-1}[/tex]

6) [tex]\lim_{x \to 2 } =\frac{x^2+2x-8}{x+2}[/tex]

7) [tex]\lim_{x \to -2 } =\frac{x^2+4x+4}{x^2+2x}[/tex]

8) [tex]\lim_{x \to 5} =\frac{x^2+4x-45}{2x^2-7x-15}[/tex]

9) [tex]\lim_{x \to 1 } =\frac{x^2+x-2}{x^2+5x-6}[/tex]

10) [tex]\lim_{x \to 2 } =\frac{x^2+4x-12}{2x^2-x-6}[/tex]

11) [tex]\lim_{x \to -3 } =\frac{x^2+9}{x+3}[/tex]

12) [tex]\lim_{x \to 1 } =\frac{x^2+6x-16}{2x^2-3x-2}[/tex]

[Knowledge Greedy]

Стараеш се, но гледай внимателно какво и къде пишеш. (Не пиши в средата на изразите "=" равно .)

1.) се записва се така
[tex]\lim_{x \to \pm \infty } \frac{3x ^4 +5x^6-2}{x^2+3x^3+1}[/tex]
Решение:
[tex]\lim_{x \to \pm \infty } \frac{\cancel {x^3}(5x^3+3x -\frac{1}{x^2 }) }{\cancel {x^3}(3+\frac{1}{ x^2} +\frac{1}{x^3 } )}=\pm \infty[/tex]
("побеждава" безкрайността с най-висока степен и нейният знак!)

2.) се записва се така
[tex]\lim_{x \to \pm \infty } \frac{4x ^5 -3x^2+x-9}{x^2+2x^4-3x^5}[/tex]
Решение:
[tex]\lim_{x \to \pm \infty } \frac{4x ^5 -3x^2+x-9}{-3x^5+2x^4+x^2}=[/tex]

[tex]=\lim_{x \to \pm \infty } \frac{\cancel{x ^5}(4 -3\frac{1}{x^3 } +\frac{1}{x ^4 }-9\frac{1}{x ^5 } )}{\cancel{x ^5}(-3+2\frac{1}{x } +\frac{1}{ x^3} )}=\frac{4-0+0-0}{-3+0+0 }=-\frac{4}{3 }[/tex]

3.) [tex]\lim_{x \to \pm \infty } \frac{3x ^2 +x^4-3x}{3x-2x^2+5}[/tex]
Решение:
[tex]\lim_{x \to \pm \infty } \frac{\cancel{x ^2} (3+\frac{1}{x^2 } -\frac{3}{x } )}{\cancel{x ^2}(-2+\frac{3}{x } +\frac{5}{x^2) })}=\frac{3+0-0}{-2+0+0 }=-\frac{3}{2 }[/tex]


4.) [tex]\lim_{x \to \pm \infty } \frac{x ^6 -2x^3+x+2}{3x^4-9+2x^7}[/tex]
Решение:
[tex]\lim_{x \to \pm \infty } \frac{x ^6 -2x^3+x+2}{2x^7+3x^4-9}=[/tex][tex]\lim_{x \to \pm \infty } \frac{\cancel{x^7}(\frac{1}{x } -\frac{2}{x^4 }+\frac{1}{x^6} x+\frac{ 2}{x^7 })}{\cancel{x^7}(2+\frac{3}{x^3 } -\frac{9}{ x^7})}=\frac{0-0+0+0}{2+0-0 } =0[/tex]


5.) [tex]\lim_{x \to 1 } \frac{x^2-1}{x-1}[/tex]
Решение:
[tex]\lim_{x \to 1 } \frac{x^2-1}{x-1}=\lim_{x \to 1 } \frac{(x+1)\cancel{(x-1)})}{\cancel{(x-1)}}=\lim_{x \to 1 }(x+1)=1+1=2[/tex]

6.) [tex]\lim_{x \to 2 } \frac{x^2+2x-8}{x+2}[/tex]
Решение:
[tex]\lim_{x \to 2 } \frac{x^2+2x-8}{x+2}= \frac{2^2+2.2-8}{2+2}=\frac{0}{4 }=0[/tex]

7) [tex]\lim_{x \to -2 } \frac{x^2+4x+4}{x^2+2x}[/tex]
Решение:
[tex]\lim_{x \to -2 } \frac{(x+2)^{\cancel{2}}}{x\cancel{(x+2)}}=\frac{-2+2}{ -2} =0[/tex]

8) [tex]\lim_{x \to 5} \frac{x^2+4x-45}{2x^2-7x-15}[/tex]
Решение:
[tex]\lim_{x \to 5} \frac{(x+9)(x-5)}{(2x+3)(x-5)}=\lim_{x \to 5} \frac{(x+9)\cancel{(x-5)}}{(2x+3)\cancel{(x-5)}}=\frac{5+9}{2.5+3 }=\frac{14}{13 }[/tex]


9.) [tex]\lim_{x \to 1 } \frac{x^2+x-2}{x^2+5x-6}=\lim_{x \to 1} \frac{(x+2)\cancel{(x-1)}}{(x+6)\cancel{(x-1)}}=\frac{1+2}{1+6 }=\frac{3}{7 }[/tex]

10.) [tex]\lim_{x \to 2 } \frac{x^2+4x-12}{2x^2-x-6}=\lim_{x \to 2} \frac{(x+6)\cancel{(x-2)}}{(2x+3)\cancel{(x-2)}}=\frac{2+6}{2.2+3 }=\frac{8}{7 }[/tex]

11.) [tex]\lim_{x \to -3 } \frac{x^2+9}{x+3}=\lim_{\varepsilon \to 0 } \frac{(\varepsilon +3)^2+9}{\varepsilon }=\lim_{\varepsilon \to 0 } \frac{\varepsilon ^2+6\varepsilon +18}{\varepsilon } =\lim_{\varepsilon \to 0 } \left ( \varepsilon +6+\frac{18}{\varepsilon } \right ) =0+6\pm \infty=\pm \infty[/tex]

12.) [tex]\lim_{x \to 1 } \frac{x^2+6x-16}{2x^2-3x-2}=\frac{1^2+6.1-16}{2.1^2-3.1-2}=\frac{-9}{-3 }=3[/tex]

И, за Бога, kikchy ! Моля те, не пиши "равно" след лимеса!

[kikchy]

Благодаря много ! Няма да има "=" след лимес.
Имам още една молба за няколко задачки за производни и граници
Изисква се да намерим производните на:
1) [tex]y= 4^{sinx} + 2cos3x + 4x^{13}+2[/tex]

2) [tex]y= 2.arctg4x +3.ln\frac{1}{x^2 }+3\sqrt{x} +5[/tex]

3) [tex]y=cosx +e^{tgx}[/tex]

4) [tex]y=\frac{x^2+1}{ arcsin3x} +2e^{tg2x}[/tex]

5) [tex]y=ln^{3}(9x^{2}+3x-1)-1[/tex]

6) [tex]y=\frac{arctg2x}{4^x+3^{x2} +2^{\sqrt{x}} }[/tex]

7) [tex]y= tg(\sqrt{x}+1)+2.sin3x+x.e^{2x}[/tex]

8) [tex]y=\frac{lnx^2+1}{3.sin4x }[/tex]

По правило на Лопитал ако е възможно

1) [tex]\lim_{x \to 1} \frac{4x^2-3x-1}{2x^2+x-3 }[/tex]

2) [tex]\lim_{x \to 3} \frac{sin(x-3)}{2x-6 }[/tex]

3) [tex]\lim_{x \to 0 } \frac{arctg2x}{ln(2x+1)}[/tex]

4) [tex]\lim_{x \to 1} \frac{e^{2x-2}+1}{cos(x-1)}[/tex]

5) [tex]\lim_{x \to 2} \frac{arcsin(4x-8).(x-2)}{1-cos^2(x-2)}[/tex]

6) [tex]\lim_{x \to 3} \frac{3.(cos(x-3)-1)}{sin^2(2x-6) }[/tex]

7) [tex]\lim_{x \to 0} \frac{e^{arctgx}-1}{x.cosx }[/tex]

8) [tex]\lim_{x \to 0} \frac{2x.tg2x}{3-3cos2x }[/tex]

[kikchy]

И последно задачи:
Трябва да ги реша за локални екстремули, min и max стойност на функцията и изпъкналост ,вдлъбналост и инфлексни точки:

1) [tex]y=\frac{2x}{x+1 }[/tex]

2)[tex]y=\frac{1}{3 }x^{3}-2x^{2}+3x-1[/tex]

3)[tex]y=\frac{x^2}{2x-1 }[/tex]

4) [tex]y=\frac{2x^2}{x^2-1 }[/tex]

Благодаря предварително!

[monika_at]

Спри се малко бе, човек.

[Knowledge Greedy]

Да пием за Маркиз Лопитал!

1.) [tex]\lim_{x \to 1} \frac{4x^2-3x-1}{2x^2+x-3 }=\lim_{x \to 1} \frac{(4x^2-3x-1)'}{(2x^2+x-3)' }=\lim_{x \to 1} \frac{8x-3}{4x+1 }=\frac{8.1-3}{ 4.1+1} =1[/tex]

2.) [tex]\lim_{x \to 3} \frac{sin(x-3)}{2x-6 }=\lim_{x \to 3} \frac{(sin(x-3))'}{(2x-6)' }\lim_{x \to 3}\frac{cos(x-3)}{2 }=\frac{cos0}{ 2}=\frac{1}{2 }[/tex]

3.) [tex]\lim_{x \to 0 } \frac{arctg2x}{ln(2x+1)}=\lim_{x \to 0 } \frac{\frac{2}{1+4x^2 } }{ \frac{2}{2x+1 } }=\lim_{x \to 0} \frac{2x+1}{4x^2+1 }=\frac{2.0+1}{4.0^2+1 }=1[/tex]

4.) [tex]\lim_{x \to 1} \frac{e^{2x-2}+1}{cos(x-1)}=\frac{e^{2.1-2}+1}{cos(0)}=\frac{2}{1}=2[/tex] (Тук нямаше никаква нужда от Лопитал - директно заместване решава всичко)

5.) [tex]\lim_{x \to 2} \frac{(x-2).arcsin(4x-8)}{1-cos^2(x-2)}=\lim_{x \to 2} \frac{(x-2).arcsin(4x-8)}{sin^2(x-2)}=\lim_{x \to 2} \frac{arcsin(4x-8)}{x-2 }:\left ( \frac{sin(x-2)}{x-2 } \right )^2=[/tex]
[tex]=\lim_{x \to 2} \frac{arcsin(4x-8)}{x-2 }:\lim_{x \to 2}\left ( \frac{sin(x-2)}{x-2 } \right )^2=\lim_{x \to 2} \frac{\left ( arcsin(4x-8) \right )'}{(x-2)' }:1^2=[/tex][tex]\lim_{x \to 2} \frac{\left ( arcsin(4x-8) \right )'}{(x-2)' }=\lim_{x \to 2} (4x-8)'\frac{1}{ \sqrt{1-16(x-2)^2} }:(x-2)'=\lim_{x \to 2}\frac{4}{ \sqrt{1-16(x-2)^2} }:1=\frac{4}{ \sqrt{1-16(2-2)^2} } =4[/tex]

Тук освен основното тригонометрично тъждество, на втория ред използвахме основната граница [tex]\lim_{u \to 0} \frac{sinu}{u } =1[/tex] - след което приложихме 1 път теоремата на Лопитал.

6.) [tex]\lim_{x \to 3} \frac{3.(cos(x-3)-1)}{sin^2(2x-6) }=\lim_{x \to 3} \frac{-3.sin(x-3)}{2.2.sin(2x-6)cos(2x-6) }=[/tex]
[tex]=-\frac{3}{ 4} \lim_{x \to 3} \frac{sin(x-3)}{sin2(x-3)) }.\lim_{x \to 3} \frac{1}{cos(2x-6) }=-\frac{3}{ 4} \lim_{x \to 3} \frac{\cancel{sin(x-3)}}{2\cancel{sin(x-3)}cos(x-3) }.1=-\frac{3}{ 8}[/tex]


7.) [tex]\lim_{x \to 0} \frac{e^{arctgx}-1}{x.cosx }=\lim_{x \to 0} \frac{\left ( e^{arctgx}-1\right )'}{\left ( x.cosx \right )'}=\lim_{x \to 0} \frac{ e^{arctgx}}{ (1+x^2)(cosx -xsinx)} =\frac{e^0}{(1+0)(1-0) }=1[/tex]

8.) [tex]\lim_{x \to 0} \frac{2x.tg2x}{3-3cos2x }=\lim_{x \to 0} \frac{(2x.tg2x)'}{(3-3cos2x)' }=\lim_{x \to 0}\frac{2tg2x+2x.\frac{1}{cos^22x }.(2x)' }{-3.(-sin2x).(2x)' }=[/tex]

[tex]=\lim_{x \to 0} \left ( \frac{1}{3cos2x } +\frac{2}{3cos^22x }.\frac{2x}{sin2x } \right )=\frac{1}{3 }+\frac{2}{3 }.1=1[/tex]

[Knowledge Greedy]

По първите 8 ще коментирам частично, времето ми тече

1.)
[tex]\left ( 4^{sinx} \right )'=ln4.4^{sinx} .cosx[/tex]

[tex](cos3x)'=-sin3x.(3x)'=-3sin3x;[/tex]

[tex]\left ( x^{13} \right )'=13x^{12}.[/tex]

2.)
[tex](arctg4x)'=\frac{1}{1+(4x ^2)} .(4x)'=\frac{4}{1+16x^2 }[/tex]

[tex]\left (ln\frac{1}{x^2 } \right )'=\left ( ln1-lnx^2 \right )'=0-\frac{1}{x^2 }.(x^2)'=-\frac{2}{x}[/tex]

[tex](\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x} }[/tex]

3.)
[tex]\left ( e^{tgx} \right )'=e^{tgx} .(tgx)'=\frac{e^{tgx}}{cos^2x }[/tex]

4.) [tex]y=\frac{x^2+1}{ arcsin3x} +2e^{tg2x}[/tex] За тази виж формулата [tex]\left (\frac{u}{v } \right )'=\frac{u'v-uv'}{v^2 }[/tex] .
Достатъчно е да знаеш още, че [tex](arcsint)'=\frac{1}{ \sqrt{1-t^2} }[/tex]

5.)
[tex]y'=3ln^{2}(9x^{2}+3x-1)\frac{1}{9x^{2}+3x-1 }.(9x^{2}+3x-1)'=\frac{9(6x+1)}{ 9x^{2}+3x-1 }ln^{2}(9x^{2}+3x-1)[/tex]

6.) Без коментар - виж упътванията по 4-та, 1-ва, 2-ра

[tex]y=\frac{arctg2x}{4^x+3^{x2} +2^{\sqrt{x}} }[/tex]

7.)
[tex](tg(\sqrt{x}+1))'=\frac{1}{cos^2(\sqrt{x}+1)} (\sqrt{x}+1)'=...[/tex]

останалите елементи повтарят предишните задачи.

8.) [tex]y=\frac{lnx^2+1}{3.sin4x }[/tex]

Използваме производна на частно - задача 4

[tex]y'=\frac{1}{3 } \frac{(lnx^2+1)'sin4x-(lnx^2+1)(sin4x)'}{sin^24x }[/tex]

[tex]\left ( lnx^2 \right )'=\frac{2}{x }[/tex]

Не забравяй още, че [tex](sin^24x)'=2sin4x(sin4x)'=2sin4xcos4x(4x)'=8sin4xcos4x=4sin8x[/tex]
(А най-последното равенство си беше чиста тригонометрия)