Изследване на тригонометрична функция

[Zarrie]

Здравейте, имам огромен проблем с изследването на тригонометрични функции. Що се отнася до тригонометрия + математически анализ в главата ми е пълна каша.
Да вземем за пример задача от сорта на:
Да се намери НГС/НМС на функцията
[tex]sin^3(x)+cos^3(x)-3(sin^2(x)cos(x) + sin(x)cos^2(x))[/tex]
Това, което знам е, че трябва да намерим първа производна също като при функция на полином.
До тук всичко ясно. Намираме критичните точки - ясно. Критичните точки в случая са безброй много. Какво правим? Можем ли да твърдим, че тъй като функцията е периодична е достатъчно да я разгледаме само в даден интервал? Какъв е интервала, ако има такъв?
След това преминаваме на определяне локалните екстремуми. Учителката ми в училище каза, че тъй като не можем да определим знаците отляво и отдясно на критичните точки, трябва да използваме с второ ДУ за лок. екстремум, сиреч, втора производна. Това не ми е ясно. Защо да не можем да определим знаците отляво и отдясно на критичната точка.
Най-големия ми проблем идва, когато гледам решение от сборник, в който функцията е сведена до такава с единствена тригоном. функция, тоест, сбор/произведение от синус, кос.... След полагане се получава някакъв полином, който има ДС и т.н.- това е ясно, но намирайки производна на тази функция, след връщане към полагането не се получава функцията, която е производна на основната функция, защото практически и 2,3,4, производна на тригонометрична функция няма да стане 0, както при полиномна, което ме обърква, защото, не знам защо - объркващо е. Това не прави ли функциите нееквивалентни?
Друго, което не разбирам относно полагането е следното.
Ако имаме функцията [tex]sin3x[/tex]
Производната ѝ е: [tex]3cos3x[/tex] а нейната [tex]-9sin3x[/tex] и после 3та [tex]-27cos3x[/tex]
Нека сега направим същото, но с полагане: но с функцията [tex]sin^2(3x) + sin(3x)[/tex] за да онагледя това, което имам предвид
[tex]sin3x = t \in [-1;1] , 1)f(t) = t^2 +t[/tex] първа производна: [tex]2t+1[/tex]
ето тук вече имаме и знаци отляво и отдясно на критичната точка -1/2. Това ме обърква.
Имам нужда от някакво обяснение и някакви примери. Ако някой би се ангажирал с по-подробно и широко обяснение бих бил изключително благодарен!
Надявам се да е ясно какво питам, защото е трудно да обясня, това което не разбирам.

[pal702004]

Zarrie, решението на задачата не е трудно, функцията всъщност е [tex](\sin x+cos x)^3-6\sin x\cdot \cos x(\sin x+\cos x)[/tex], и като имаш предвид, че [tex]2\sin x\cdot \cos x=(\sin x+\cos x)^2-1[/tex] получаваш функция от една променлива [tex]u=\sin x+\cos x[/tex], като не забравиш да докажеш, че [tex]u \in [-\sqrt 2;\sqrt 2][/tex] И вече стандартно търсиш НМС и НГС на функция от една променлива на интервал.

[Zarrie]

Разбирам, освен, че имам малък проблем с определяне на интервал, когато не ми е даден. Бихте ли разписали доказателството, ако не е проблем ?

[pal702004]

Имаш предвид доказателството, че [tex]\sin x+\cos x \in [-sqrt 2;sqrt 2][/tex]? Ами с производна, разбира се, [tex]\cos x-\sin x=0[/tex], екстремуми при [tex]\sin x=\cos x[/tex]. Може и без, производни :

[tex]|\sin x+\cos x| \le \sqrt 2[/tex]

[tex]\sin^2 x+2\sin x \cdot \cos x +\cos^2 x \le 2[/tex]

[tex]1+\sin{2x} \le 2[/tex]