Прави и окръжности

[yavor]

Здравейте, имам проблем с решението на една задача. Не знам дали има подобна вече във форума, аз не намерих. Задачата гласи:

Окръжност с център M(-2;2) минава през точката P(1;9). Правата g минава през точката Q(5;5) (която в предишна подточка на задачата доказах че лежи на въпросната окръжност) и пресича правата y=x+3 перпендикулярно. Определете пресечните точки на правата g и кръга.

ПП: Превеждал съм задачата от немски, така че е възможно да има неточности в терминологията, за което се извинявам.

[monika_at]

Привет. Първо да съставим уравнението на окръжността, което в общ вид е:
[tex](x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2[/tex],където [tex](x_0, y_0)[/tex] са координатите на центъра на окръжността, а [tex]R[/tex] е радиусът й.
За да определим радиуса, трябва да намерим дължината на [tex]MP[/tex]; [tex]MP^2=(-2-1)^2+(2-9)^2=58=>R^2=58[/tex] =>уравнението на окр. е: [tex](x+2)^2+(y-2)^2=58[/tex]

Да се заемем с правата [tex]g: y=kx+n[/tex]Понеже [tex]g\bot[/tex] на правата с уравнение [tex]y=x+3[/tex], произведението от ъгловите им коефициенти трябва да е равно на [tex]-1=>k.1=-1=>k=-1=>g:y=-x+n[/tex]
Точката [tex]P[/tex] лежи на правата [tex]g=>5=-5+n=>n=10=>g: y=-x+10[/tex]
За да намерим пресечните точки на окръжността и правата, решаваме системата:

[tex]y=-x+10; (x+2)^2+(y-2)^2=58[/tex]

[tex](x+2)^2+(-x+10+2)^2=58=>x^2-6x+5=0=>x_1=5; x_2=1=>y_1=5; y_2=9[/tex]Получава се, че пресечните точки са [tex]P[/tex]и [tex]Q[/tex]

[yavor]

Благодаря Ви много! Само ако може да попитам, защо когато две прави са перпендикулярни произведението от ъгловите им коефициенти е равно на -1. Някакви правила ли има за определяне на това произведение?

[monika_at]

Ако с [tex]\varphi[/tex] означим ъгъла между правите с уравнения: [tex]y=k_1x+n_1[/tex]и [tex]y=k_2x+n_2[/tex], то

[tex]tg\varphi =\frac{k_1-k_2}{1+k_1k_1}[/tex]

1) Правите са успоредни, ако [tex]k_1-k_2=0=>k_1=k_2[/tex]

2)Правите са перпендикулярни, ако [tex]1+k_1k_1=>k_1k_2=-1[/tex]

[yavor]

Ясно, разбрах, благодаря много отново