Функция с параметър

[Henz]

Да се намери стойността на реалния параметър a,за която най-малката стойност на функцията [tex]f(x)=x^{2 }-4ax-a^{4}[/tex] е най-голяма.

[martin123456]

най малката стойност е в [tex]x=2a[/tex] и е [tex]f(2a)=4a^2-8a^2-a^4=-a^4-4a^2=g(a)[/tex]
търсим най голямата стойност на [tex]g(a)[/tex]. [tex]g(a)=-y^2-4y=h(y)[/tex] след полагането [tex]y=a^2[/tex]. значи търсим най-голямата стойност на [tex]h(y)[/tex] в интервала [tex]y \geq 0[/tex]. тази квадратна функция има най-голямама стойност за [tex]y=-2[/tex] и там стойността е 4 и след това като се вземе предвид параболата че е обърната надолу се вижда че най-голяма стойност има в 0 и тя е 0

[estoyanovvd]

Тъй като функцията е квадратна, можем да минем и без производни! От коефициента пред втората степен следва, че функцията е изпъкнала и достига най-малката си стойност за [tex]x=2a[/tex] и тя е [tex]f(2a)=-4a^{2}-a^{4}=-a^{2}(4+a^{2})\le 0[/tex], т.е най-голямата стойност е [tex]0[/tex] и тя се достига за [tex]a=0[/tex].

[Henz]

Да видим дали правилно съм разбрал задачата.

Търсим най малката стойност на функцията [tex]f(x)=x^{2 }-4ax-a^{4 }[/tex] и тя е при [tex]f(2a)=-a^{4}-4a^{2 }[/tex]
Сега търсим най-голямата стойност на[tex]f(2a)[/tex].Полагаме за да стане квадратно тоест [tex]a^{2 }=y =>y\ge 0[/tex]
функцията става [tex]f(y)=-y^{2 }-4y[/tex].Търсим най-голямата стойност на тази функция и тя е при [tex]f(-2)=4[/tex].Параболата е обърната нагоре значи при [tex]f(-2)=4[/tex] е максимума на функцията,но понеже [tex]y\ge 0 y[/tex] не може да е -2 следователно другата най-голяма неотрицателна стойност е 0. =====>[tex]f(2a)=-a^{4}-4a^{2 }[/tex] достига най-голямата си стойност при a=0.

@estoyanovvd твоя начин трябва да си призная не го схванах.Може ли да ми обясниш защо след като намираш най-малката стойност на функцията [tex]f(2a)=-a^{4}-4a^{2 }[/tex] слагаш да е [tex]\le 0?[/tex]:)

Мерси и на двамата за решенията.

[ganka simeonova]

Защото няма как [tex]-a^4-4A^2[/tex] да е положително.