Приложение на производни

[katal_latem]

Много ще се радвам, ако някой ми обясни тези задачи:
1.Намерете стойнстите на реалния параметър а, за които 3x⁴+4x³-12x²+16a приема само неотрицателни стойности....
2.Дадена е функцията f(x)=x⁴+2x³-x-1. Докажете че у-то f(x)=0 има точно два реални корена, единият от които е по-малък от -1, а другият е по-голям от нула. Като намеря втората производна виждам, че x0= -1, 0 обаче нямам представа какво да правя....

[Knowledge Greedy]

1.Намерете стойностите на реалния параметър [tex]a[/tex], за които [tex]3x^4+4x^3-12x^2+16a[/tex] приема само неотрицателни стойности.

Да разгледаме функцията [tex]f(x)=3x^4+4x^3-12x^2+16a[/tex]
Производната и
[tex]f'(x)=12x^3+12x^2-24x[/tex]
ни казва с корените [tex]x_1=-2,[/tex] [tex]x_2=0[/tex] и [tex]x_3=1[/tex] на уравнението [tex]f'(x)=0[/tex]
(и разбира се с помощта на неравенствата [tex]f'(x)>0[/tex] и [tex]f'(x)<0[/tex]),
че тази функция има локални екстремуми

[tex]minF(x)=f_{min}(x)=f(-2)=-80+16a[/tex]

[tex]f_{max}(x)=f(0)=16a[/tex]
[tex]f_{min}(x)=f(1)=-5+16a[/tex],

първият от които е и абсолютен. Това означава, че за всяко [tex]x[/tex], следва [tex]f(x)\ge 16a-80[/tex]
Ако искаме всички стойности, които приема нашата функция да са неотрицателни, трябва [tex]16a-80\ge 0[/tex],
следователно [tex]a\in [5; +\infty ).[/tex]

[Knowledge Greedy]

2.Дадена е функцията f(x)=x⁴+2x³-x-1. Докажете че у-то f(x)=0 има точно два реални корена, единият от които е по-малък от -1, а другият е по-голям от нула. Като намеря втората производна виждам, че x_3= -1 и x_4=0, обаче нямам представа какво да правя....

Добре намираш втората производна [tex]f''(x)=12x^2+12x[/tex]
Корените и са [tex]x_3=-1[/tex] и [tex]x_4=0[/tex]. Какво означава това?

Това означава, че първата производна като функция има локални екстремуми в тези точки. Да пресметнем тези екстремуми (на първата производна!):
[tex]f'_{max}(x)=f'(-1)=1[/tex]
и
[tex]f'_{min}(x)=f'(0)=-1[/tex]
Тъй като първата производна [tex]f'(x)=4x^3+6x^2-1[/tex] е непрекъсната функция с различни знаци на стойностите в краищата на интервала [-1; 0], то тя се анулира някъде в този интервал, поне един път.
Със схемата на Хорнер например, проверяваме, че това става при [tex]x=-\frac{1}{2}[/tex], т.е.[tex]f'\left (-\frac{1}{2} \right )[/tex] =0.
Последното означава, че самата функция [tex]f(x)[/tex] има локален екстремум в [tex]x_5=-\frac{1}{2}[/tex] и този екстремум е [tex]f_{max}(x)=f\left (-\frac{1}{2} \right )=-\frac{11}{16}[/tex]

В случая по-важното е не големината на този максимум, а фактът, че той е отрицателен. Поради непрекъснатостта на [tex]f(x)[/tex], следва че минимумите на [tex]f(x)[/tex] - два броя (един отляво на [tex]-\frac{1}{2}[/tex] , един отдясно на [tex]-\frac{1}{2}[/tex] ) са "още по-отрицателни" , т.е. също отрицателни, но по-големи по абсолютна стойност.
Пресмятаме [tex]f(-2)=1[/tex] и правим извод, че някъде между [tex]-2[/tex] и [tex]-\frac{1}{2}[/tex] уравнението има един корен [tex]x_1[/tex].
Пресмятаме [tex]f(1)=1[/tex] и правим извод, че някъде между [tex]-\frac{1}{2}[/tex] и [tex]1[/tex] уравнението има още един корен [tex]x_2[/tex]. Трябваше да е със сигурност положителен, затова проверяваме [tex]f(1)=-1[/tex] и коригираме последния извод - вторият корен [tex]x_2\in (0; 1)[/tex].
Значи разглежданото уравнение има един отрицателен и един положителен корен.

Задача 2 на katal_latem.PNG (15.1 KiB) Прегледано 1363 пъти

Горните разсъждения не биха били възможни, ако функцията не бeше доказано непрекъсната, а част от подробностите се крият и в нейната монотонност в отделните интервали.
==========================

katal_latem , ако не е тайна, къде ви дават тези трудни задачи?

[katal_latem]

В СМГ и г-жата ни даде още три други за 25мин контролно......

[katal_latem]

Благодаря много за решенията! Друго си е да разбира човек от функции

[Knowledge Greedy]

В СМГ и г-жата ни даде още три други за 25мин контролно......

Така и очаквах. Много печена госпожа. Поздрави я от мен!