Граница на функция

[Zarrie]

Здравейте, имам проблем относно разбирането на дефиниция от един учебник и моля за малко превод...
Принципно знам какво е понятието граница на редица и граница на функция и мога да кажа, че го осъзнавам практически, но исках да разширя теоретично понятието, но се сблъсках с едно, според мен твърде абстрактно обяснение - ето го и него:
"Казваме, че функцията [tex]f(x), x \in D[/tex], има граница A при х, клонящо към а, ако за всяка редица {[tex]x_{n}[/tex]},[tex]\lim_{n \to \infty} (x_{n})=a[/tex] [tex](x_{n} \in D, x_{n}[/tex]≠[tex]a)[/tex],редицата {[tex]f(x_{n})[/tex]} е сходяща и [tex]\lim_{n \to \infty} (x_{n})[/tex]"
Предполагам редицата {[tex]x_{n}[/tex]} е редица от функционални стойности на функцията f(x)?
Преди това е дадено нещо като пример :
"Да разгледаме функцията [tex]f(x)=x^2[/tex],дефинирана за всяко х.Нека а е дадено число и {[tex]x_{n}[/tex]}е прозволна редица така, че [tex]\lim_{n \to \infty} (x_{n})=a[/tex].Като знаем от св-та на сходящите редици, [tex]\lim_{n \to \infty} (x_{n}^{2})=a^{2}[/tex].Това означава, че редицата от функционални стойности {[tex]f(x_{n})[/tex]} е сходяща и има граница [tex]a^{2}[/tex]
Каква е тази "произволна редица"? Под произволна се има предвид която и да е числова редица от функционалните стойности на функцията ли? Не разбирам, защото функцията е зададена с аргумент х а редицата като редица [tex]x_{n}[/tex] Какво трябва да означава индексът n? И последен въпрос - защо от редицата се иска за стойности клонящи към безкрайност да се получи граница а, при положение, че стойностите на функцията клонят към число, а не към безкрайност?
Благодаря предварително!

[mp3]

"Казваме, че функцията [tex]f(x), x \in D[/tex], има граница A при х, клонящо към а, ако за всяка редица {[tex]x_{n}[/tex]},[tex]\lim_{n \to \infty} (x_{n})=a[/tex] [tex](x_{n} \in D, x_{n}[/tex]≠[tex]a)[/tex],редицата {[tex]f(x_{n})[/tex]} е сходяща и [tex]\lim_{n \to \infty} (x_{n})[/tex]"

Казваме, че функцията [tex]f(x), x \in D[/tex], има граница A при х, клонящо към а, ако за всяка редица [tex]{x_{n}},\lim_{n \to \infty} (x_{n})=a (x_{n} \in D, x_{n}[/tex]≠[tex]a)[/tex],редицата [tex]{f(x_{n})}[/tex]е сходяща и[tex]\lim_{n\to \infty} f(x_{n}) = A[/tex]

[Knowledge Greedy]

...
"Казваме, че функцията [tex]f(x), x \in D[/tex], има граница A при х, клонящо към а, ако за всяка редица {[tex]x_{n}[/tex]},[tex]\lim_{n \to \infty} (x_{n})=a[/tex] [tex](x_{n} \in D, x_{n}[/tex]≠[tex]a)[/tex],редицата {[tex]f(x_{n})[/tex]} е сходяща и [tex]\lim_{n \to \infty} (x_{n})[/tex]"
Предполагам редицата {[tex]x_{n}[/tex]} е редица от функционални стойности на функцията [tex]f(x)[/tex]? ...

Първото ти предположение Zarrie, е погрешно. Вникни в смисъла!
[tex]x[/tex] е аргумент на функцията. То е независима променлива.

За да не бъркаме със зависимата променлива [tex]f(x)[/tex] ( функция на [tex]x[/tex]), често я титулуваме с допълнително означение [tex]y=f(x)[/tex].

Редицата [tex]\left \{ x_n \right \}^{\infty }_{n=1}[/tex] си е просто редица от стойности на аргумента.

Тази редица е толкова произволна, колкото нашето желание да я насочим към [tex]a[/tex]
(както по-горе се иска - подчертано от мен в твоя цитат, с червено).
Смисълът на току що казаното "да я насочим", е тя да има [tex]\lim_{n \to \infty } x_n=a.[/tex]

Ако съответната редица [tex]\left \{ f(x_n) \right \}^{\infty }_{n=1}[/tex] e сходяща, казваме, че съществува [tex]\lim_{x \to a} f(x)[/tex].

При това всички тези граници [tex]\lim_{n \to \infty } f(x_n)[/tex] - на безбройното количество редици с червеното свойство, са равни на [tex]A[/tex].

Обърни внимание и на това: - всички тези граници могат за се запишат не със смутилото те [tex]n\rightarrow \infty[/tex] , а така
[tex]\lim_{x_n \to a } f(x_n)[/tex]

Стойността [tex]A[/tex] на самата граница ми се струва, че си изпуснал в дефиницията (или аз съм изпуснал в цитата).

___________________________
Ще ти напиша още, но сега излизам.

[Knowledge Greedy]

Zarrie, да предположим, че не си чувал за границата на функцията [tex]f(x)=\frac{sinx}{x}[/tex]
Изглежда доста странно да съществува, защото и числителят и знаменателят се приближават към нула
(т. е. тук имаме неопределеност от вида [tex]\left [ \frac{0}{0} \right ][/tex])

Преди време предложих на учениците да я открият експериментално.
Всеки трябваше да подбере редица [tex]\left \{ x_n \right \}[/tex] от стойности на аргумента [tex]x[/tex], чиито членове се доближават към нулата. Останалото вършеше Micrsoft Excel. На втория ред на таблицата той/тя/то пресмяташе стойностите на функцията.

The Limit.PNG (2.81 KiB) Прегледано 1286 пъти

Виж продукцията на един от учениците ми. Не само в неговата таблица, но и в таблиците на всички останали, срещу нулата в клетката за стойността на функцията се появи знакът за забранено деление на нула. Не съобразиха, че нулата не принадлежи на дефиниционното множество.

Граница на функция 5.PNG (3.61 KiB) Прегледано 1286 пъти

Въпреки това всички направиха един и същи извод: границата [tex]\lim_{x \to 0} \frac{sinx}{x}=1[/tex].

А всички бяха избрали различни редици [tex]\left \{ x_n \right \}[/tex]. Всички те обаче бяха с една граница - нула. Нека не те смущава фактът, че в избраната от мен таблица, нулата на първия ред не е в края на таблицата - "в края на стрелката ", та нали числата - членове на редицата могат да подскачат както си искат около нея, приближавайки я !
Само дето редиците във всички таблици не бяха безкрайни!
( Само Той може това - защото Има безкрайно Място и Време.)

Ние обаче, с нашето въображение, можем да си представим, че между всеки две клетки от един ред на таблицата можем да добавим многоточие, зад което се крие същата идея - безкрайността.

[Zarrie]

...
Ако съответната редица [tex]\left \{ f(x_n) \right \}^{\infty }_{n=1}[/tex] e сходяща, казваме, че съществува [tex]\lim_{x \to a} f(x)[/tex].

Изключително много Ви благодаря за обширното пояснение! Наистина ме притесняваше това [tex]n \rightarrow \infty[/tex] Но осъзнах, че то не означава, че самата редица клони към безкрайност, а че за безкрайните поредни номера на редицата АРГУМЕНТИТЕ клонят към границата на редицата, както сте записали по-долу. Осъзнах разликата и дефиницията по-добре, благодаря!
Единствено не разбрах написаното в цитата. Не съм използвал този начин на запис и не знам безкрайността в степенния показател и n=1 в индекса какво значат?

[Knowledge Greedy]

Zarrie, означението [tex]\left \{ x_n \right \}^\infty_{n=1}[/tex] се употребява за всички членове [tex]x_n[/tex] на безкрайна редица.
Понякога се икономисват началото [tex]n=1[/tex] и "края" [tex]\infty[/tex] , и редицата изглежда така [tex]\left \{ x_n \right \}[/tex]

- вместо например [tex]x_1,\,\ x_2,\,\ x_3, \,\ ..., \,\ x_n, \,\ ...[/tex] - за избягване на многоточията

Но не смесвай [tex]x_k[/tex] и [tex]\left \{ x_k \right \}[/tex] .
Първото е само един член - [tex]k[/tex] -ият, а второто е означение за цялата редица.

[Zarrie]

Изключително Ви благодаря! Както на Вас така и на Г-жа Симеонова Смятам, че вниквах в математическия анализ повече, от колкото предразполагат условията ми и то благодарение на внимателните обяснения Благодаря Ви!