Монотонност на функция

[Zarrie]

Здравейте, опитвам се да докажа, че производната
[tex]f'(x)=\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{x-2}}-\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{x-3}}+\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{x-5}}[/tex]
е положителна за всяка стойност на функцията, принадлежаща на [tex]D(x):x\ge 5[/tex]
Обаче разликата ми пречи да стигна до доказателството. Може ли някой да ми обясни как се доказва монотонност в такъв случай?
Благодаря предварително!

[ptj]

[tex]x>5 \Rightarrow \sqrt{x-3} >\sqrt{x-2}>1[/tex]

[tex]\frac{\sqrt{x-3} }{\sqrt{(x-2)(x-3)} }>\frac{\sqrt{x-2} }{\sqrt{(x-2)(x-3)} }[/tex]

[tex]\frac{1}{\sqrt{x-2} }>\frac{1}{\sqrt{(x-3)} }[/tex]

[tex]\frac{1}{\sqrt{x-2} }-\frac{1}{\sqrt{(x-3)} }+\frac{1}{\sqrt{x-5} }>0[/tex]

[Zarrie]

Благодаря

[Knowledge Greedy]

[tex]x>5 \Rightarrow \sqrt{x-3} >\sqrt{x-2}>1[/tex]...

ptj, не е ли [tex]\sqrt{x-3} <\sqrt{x-2}[/tex] независимо от [tex]x>5[/tex]?

[ptj]

По-принцип е независимо, но е написано в смисъл на съществуването на корените, формално погледнато не е грешно.

[Knowledge Greedy]

Още вторият ред е грешен - като извод от първия!?

[tex]x>5 \Rightarrow \sqrt{x-3} >\sqrt{x-2}>1[/tex]

[tex]\frac{\sqrt{x-3} }{\sqrt{(x-2)(x-3)} }>\frac{\sqrt{x-2} }{\sqrt{(x-2)(x-3)} }[/tex]

...

[ptj]

И кое е грешното -да делиш лявата и дясната част на едно неравенство с положително число без да променяш знака ли?

[monika_at]

ptj, [tex]x-3<x-2=>\sqrt{x-3} <\sqrt{x-2}[/tex] Грейди е прав.

[Knowledge Greedy]

Zarrie , явно изследваш функцията [tex]f(x)=\sqrt{x-2}-\sqrt{x-3}+\sqrt{x-5}[/tex]

Да я разгледаме като сбор на две растящи функции. [tex]\varphi (x)=\sqrt{x-2}[/tex] и [tex]\psi (x)=\sqrt{x-5}-\sqrt{x-3}[/tex] .
В общото им дефиниционно множество [tex][5; \,\ +\infty )[/tex] , сборът им също е растяща функция.

[ptj]

O.K.

[Zarrie]

Да, Greedy, Точно това е функцията