Функция с параметър

[red]

За кои стойности на параметъра а функцията [tex]y=x^{2}-3ax+1[/tex]е растяща в интервала [tex]x \in (1;+\infty )[/tex]

Как може да се реши тази задача с диференциране (ако може по-подробно) и без използване на апарата на диференциалното смятане?

[mkmarinov]

С диференциране:
[tex]f'(x)=2x-3a[/tex]. Трябва [tex]f'(1) \ge 0[/tex] (т.к. производната е линейна растяща функция, иначе трябва f'(x)>0 за всяко х>1)
[tex]2-3a \ge 0 <=> a \le \frac{2}{3}[/tex]

Със знания от 10 клас (на практика същото):
Върхът на параболата е в [tex]x_0=\frac{3a}{2}[/tex]. След този връх функцията расте, т.е. се иска абцисата на върха да е преди 1. [tex]x_0<1[/tex]

[red]

За първия начин:

С диференциране:
[tex]f'(x)=2x-3a[/tex]. Трябва [tex]f'(1) \ge 0[/tex]

Значи по определение една функция е монотонно растяща в [tex]Y <=> f'(x)\ge 0, x\in Y[/tex]
Тогава защо се замества 1 в х като [tex]x=1 \notin (1;+\infty )[/tex] ?

За втория начин:

т.е. се иска абцисата на върха да е преди 1. [tex]x_0<1[/tex]

Да, вярно е. Но може и абсцисата на върха да е равна на 1 и всичко си идва на мястото - получава се верен отговор.

И още нещо: Защо в условието на тази задача от УНСС просто пише "растяща". Ами тя може да е монотонно растяща или строго растяща.

[mkmarinov]

Ако е растяща (в даден интервал), значи е монотонна (т.е. изменя се само в една посока) => "Монотонно растяща" означава само растяща.
Строго растяща означава [tex]f'(x)>0[/tex] (строго).

Вече съм обяснил защо се замества с х=1.

За върхът да се включи единицата или не - това е разликата между строго и нестрого растяща.

[red]

Добре, благодаря ти за всички отговори.

[red]

С диференциране:
[tex]f'(x)=2x-3a[/tex]. Трябва [tex]f'(1) \ge 0[/tex] (т.к. производната е линейна растяща функция, иначе трябва f'(x)>0 за всяко х>1)
[tex]2-3a \ge 0 <=> a \le \frac{2}{3}[/tex]

Само искам да допълня, че това в началото не го разбирах много добре, защото не си бях направил графика на линейната функция. Значи като намерих производната, която е линейна функция, все едно ни питат за кои ст. на парам. "а", тя е положителна. Тогава всичко става много ясно и разбираемо. Правим си графиките на различните случаи и на просто око се вижда, че f ' (1) ? 0 .