Да се определи p така че изразът да има локален минимум

[goking]

Корените на квадратното уравнение x^{2} + px + (1/p*p) = 0 са x_{1 } и x_{2 };
Да се определи p така че сборът от x_{1 } на 4-та и x_{2 } на 4та да има локален минимум,

Първо представям сборът от 4тите степени като
(x_{1 }+x_{2 })^{2} - 2*x_{1 }*x_{2 }-2*x_{1 }*x_{2 } и от Виет = p*p- (2/p*p) -(2/p*p*p*p) на което производната е 2p + 2/p^{4} + 2/p^{8};
Да има локален минимум означава производната да е 0 нали? Това е уравнение от 8 4та и 1ва степен-как се решава?
Отговорът е +-корен 8ми от 2

[pal702004]

Да се определи p така че сборът от x_{1 } на 4-та и x_{2 } на 4та да има локален минимум,

да е минимален.

Първо представям сборът от 4тите степени като (x_{1 }+x_{2 })^{2} - 2*x_{1 }*x_{2 }-2*x_{1 }*x_{2 } и от Виет = p*p- (2/p*p) -(2/p*p*p*p)

Сборът от четвъртите степени не е нито
$(x_{1 }+x_{2 })^{2} - 2x_{1 }x_{2 }-2x_{1 }x_{2 }$
нито (съдейки от Виет)
$(x_{1 }+x_{2 })^{2} - 2x_{1 }x_{2 }-2(x_{1 }x_{2 })^2$

[Nathi123]

За уравнението [tex]x^{2} + px + \frac{1}{p^{2}} =0[/tex] с корени [tex]x_{1 }[/tex] и [tex]x_{2 }[/tex] да се намери за коя стойност на р ,
[tex]x_{1 }^{4} + x_{2 }^{4}[/tex] има най - малка стойност.
Нека A = [tex]x_{1 }^{4} + x_{2 }^{4}[/tex] = [tex]( x_{1 }^{2} + x_{2 }^{2})^{2}-2(x_{1 }.x_{2 })^{2}=[(x_{1 }+x_{2 })^{2}-2x_{1 }.x_{2 }]^{2}-2(x_{1 }.x_{2 })^{2}[/tex]
От теорема на Виет [tex]\Rightarrow x_{1 }+x_{2 } = - p[/tex] и [tex]x_{1 }.x_{2 } = \frac{1}{p^{2}}\Rightarrow
A = ( p^{2} - \frac{2}{p^{2}})^{2} - \frac{2}{p^{4}} = p^{4} + \frac{2}{p^{4}} - 4 \Rightarrow[/tex] A e min [tex]\Leftrightarrow p^{4} + \frac{2}{p^{4}}[/tex] e min. От неравенството между средно аритметично и средно геометрично за [tex]p^{4}[/tex] и [tex]\frac{2}{p^{4}}\Rightarrow
p^{4} + \frac{2}{p^{4}}\ge2\sqrt{p^{4}.\frac{2}{p^{4}}}[/tex] като равенство се достига [tex]\Leftrightarrow p^{4} = \frac{2}{p^{4}}\Leftrightarrow
p^{8} =2 \Leftrightarrow p =\pm \sqrt[8]{2}[/tex].