Функционално уравнение

[Zarrie]

Здравейте,
Имам нужда от малко съдействие с тази задача :

zad3.jpg (22.1 KiB) Прегледано 862 пъти

Не търся готово решение, а просто смисълът на този тип задачи. Не съм решавал такива до сега, а ми се налага бързо да се науча, за да си предам домашното в срок
Ако може някой да ми обясни какъв е смисълът на този тип рекурентни връзки и какъв тип анализ (над задачата) се прилага с цел да се вникне в контекста?

[kucheto]

http://artofproblemsolving.com/communit ... 85p3238748
http://artofproblemsolving.com/communit ... 91p1222512

[Knowledge Greedy]

Задачите от вида са изключително разнообразни и не ми е известна цялостна завършена теория в тази област.
Целта е да се открие функцията - функционалната зависимост. Например с формулата [tex]f(n)= 3n+2[/tex] се намират числата по-големи от две, които дават остатък [tex]2[/tex] при деление на три (ако [tex]n[/tex] e естествено число).
Разбира се значение има и дефиниционното множество. Ако то е примерно [tex]\mathbb{R}[/tex], задаването със същата формула ще ни осигури множество от реални стойности.
В случая (както си личи и от упътването) става въпрос за линейни рекурентни редици.
Явно, че [tex]\forall n\ge 1[/tex]
[tex]a_n=21x-4a_{n-1}[/tex]
Следователно
[tex]a_{n+1}=21x-4a_{n}[/tex]
От последните две получаваме
[tex]a_{n+1}-3a_{n}-4a_{n-1}=0 \,\ ^{ \ast}[/tex],
чието характеристично уравнение има корени [tex]r_{1}=-1[/tex] и [tex]r_{1}=4[/tex],
значи
[tex]a_n=c_1.(-1)^n+c_2.4^n \,\ ({ \ast}{ \ast})[/tex]
Понеже [tex]\begin{array}{|l} a_1=21x-4a_0 \\ a_2=21x - 4a_1 \end{array}[/tex] - от дефиниционното равенство
и едновременно с това
[tex]\begin{array}{|l} a_1=-c_1 + 4c_2 \\ a_2 = c_1 + 16c_2 \end{array}[/tex] - виж във формулата [tex]^{ \ast}[/tex] какво се получава при [tex]n=1[/tex] и при [tex]n=2[/tex],
то
всички решения за [tex]f(n)[/tex] се дават от формулата [tex]\,\ ({ \ast}{ \ast})[/tex]
[tex]f(n)=c_1.(-1)^n+c_2.4^n[/tex]
при
[tex]\begin{array}{|l} c_1=\frac{32}{5}a_0 - \frac{147}{5}x \\ c_2= \frac{3}{5}a_0 - \frac{21}{10}x \end{array}[/tex]

Поради това, че [tex]f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}[/tex],
резултатът трябва да се прецизира, в смисъл получените стойности да са естествени числа. И това изглежда е предизвикателството на задачата, т.е. трудността на решението е оттук - нататък.

[Zarrie]

Много благодаря, Greedy Така представено придобива някакъв смисъл за мен.

[kucheto]

Явно, че [tex]\forall n\ge 1[/tex]
[tex]a_n=21x-4a_{n-1}[/tex]
Следователно
[tex]a_{n+1}=21x-4a_{n}[/tex]
От последните две получаваме
[tex]a_{n+1}-3a_{n}-4a_{n-1}=0 \,\ ^{ \ast}[/tex],

Това по-горе е напълно грешно. Правилната рекурентна зависимост е [tex]a_n=21a_{n-2}-4a_{n-1}.[/tex]

[Knowledge Greedy]

Да, наистина:
изваждайки почленно
[tex]a_n=21x-4a_{n-1}[/tex]
от
[tex]a_{n+1}=21x-4a_{n}[/tex]
получаваме
[tex]a_{n+1}-a_{n}=-4a_{n}+4a_{n-1}[/tex],
равносилно на
[tex]a_{n+1}+3a_{n}-4a_{n-1}=0[/tex]
или, ако искате - на
[tex]a_{n}+3a_{n-1}-4a_{n-2}=0[/tex]

А Вие, kucheto, какво точно имате предвид?
Моля покажете ми грешката според Вас, ако е възможно?
Мисля, че функцията е линейна по отношение на [tex]x[/tex].
Впрочем, чудесната информация от Вашите линкове е точно в същата посока.

[Zarrie]

Не разбирам рестрикцията за константите ли трябва да направя или за х?
Явно продължавам да не разбирам нещо, защото получената система ми изглежда неопределена.

[Knowledge Greedy]

Zarrie, извини ме! Малко прибързано "приключих" със задачата.
Коригираното рекурентно уравнение (благодарение на kucheto, за което му благодаря!)
[tex]a_{n+1}+3a_{n}-4a_{n-1}=0[/tex],
има характеристично уравнение с корени [tex]r_{1}=1[/tex] и [tex]r_{1}=-4[/tex]
Както си отбелязал, коефициентите сега се получават
[tex]\begin{array}{|l} c_1=\frac{a_0-a_1}{5}=\frac{a_0-21x+4a_0}{5} \\ c_2 = \frac{105x-16a_0-4a_1}{5} =0 \end{array}[/tex]
Така рекурентната редица има общ член
[tex]a_{n}=a_0 - \frac{21}{5}x[/tex]
Връщаме се към функционалния запис. Горното означава, че за [tex]n=1[/tex]
[tex]f \left ( f(x) \right )= f(x)- \frac{21}{5}x[/tex]
Но в началото
[tex]f \left ( f(x) \right )=21x- f(x)[/tex]

Следователно [tex]f(x)=\frac{63}{5}x[/tex]
За съжаление по тази формула не може да получаваме [tex]f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}[/tex]
________
Да наблегнем на поуката. Ако коефициентът [tex]c_2[/tex] не се беше получил нула, функция [tex]f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}[/tex] нямаше да съществува още в този момент - получаваше се знакопроменлива и неограничена, т.е. и с отрицателни стойности. Ако модулите и на двата характеристични корени бяха по-големи от 1, също не можем да очакваме положителен резултат.

[kucheto]

Нека [tex]f^0(x)=x[/tex] и [tex]f^{n+1}(x)=f(f^n(x))[/tex] за [tex]n\geq 0.[/tex]
Да фиксираме произволно естествено число [tex]a_0.[/tex] За всяко цяло неотрицателно число [tex]n[/tex] заместваме [tex]x[/tex] с [tex]f^n(a_0)[/tex] (това е основният подход при функционални уравнения - щом са изпълнени за произволни стойности, то те са изпълнени и за конкретни стойности, от които евентуално можем да намерим общата зависимост) и получаваме [tex]f^{n+2}(a_0)=21f^n(a_0)-4f^{n+1}(a_0).[/tex] Да положим [tex]a_n=f^n(a_0).[/tex] Тогава за всяко цяло неотрицателно [tex]n[/tex] е в сила зависимостта [tex]a_{n+2}=21a_n-4a_{n+1},[/tex] т.е. [tex]a_{n+2}+4a_{n+1}-21a_n=0.[/tex] Характеристичното уравнение на това линейно хомогенно рекурентно отношение с постоянни коефициенти е [tex]\lambda^2+4\lambda-21=0[/tex] с корени [tex]\lambda_1=3,\ \lambda_2=-7.[/tex] Следователно общото решение е [tex]a_n=c_1 3^n+c_2(-7)^n,[/tex] [tex]c_1[/tex] и [tex]c_2[/tex] са константи. Но редицата [tex](a_n)_{n=0}^{\infty}=(f^n(a_0))_{n=0}^{\infty}[/tex] е съставена само от положителни елементи, тъй като е редица от функционални стойности, приемащи по условие само положителни стойности. Следователно [tex]c_2=0[/tex] (в противен случай за достатъчно големи [tex]n[/tex] се редуват положителни и отрицателни стойности). Така [tex]a_n=c_1 3^n.[/tex] Заместваме за [tex]n=0[/tex] и [tex]n=1[/tex] и получаваме, че [tex]a_0=c_1,\ f(a_0)=a_1=3c_1=3a_0.[/tex] Но [tex]a_0[/tex] беше произволно избрано и следователно за всяко [tex]x\in\mathbb{N}\ f(x)=3x.[/tex] Директна проверка показва, че тази функция наистина е решение на задачата.

[Zarrie]

Това е и отговорът! Благодаря за решението и на двама ви