Частна производна от втори ред

[donattelo]

Да се намери частната производна от втори ред на функцията:

5.png (1.58 KiB) Прегледано 1052 пъти

[Knowledge Greedy]

Първата частна производна по [tex]x[/tex] е
[tex]\frac{\partial z}{\partial x}=\left ( \frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}} \right )'_x=\frac{y.\sqrt{x^2+y^2}-xy.\frac{\cancel{2x}}{\cancel{2}\sqrt{x^2+y^2}}}{(\sqrt{x^2+y^2})^2}=\frac{y(x^2+y^2)-x^2y}{(x^2+y^2)\sqrt{(x^2+y^2)}}=\frac{y^3}{(x^2+y^2)\sqrt{(x^2+y^2)}}[/tex]

От съображения за симетрия направо пишем първата частна производна по [tex]y[/tex]
[tex]\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{x^3}{(x^2+y^2)\sqrt{(x^2+y^2)}}[/tex]
Тези производни се означават още и така:
[tex]z'_x[/tex] и [tex]z'_y[/tex].

Частните производни от втори ред са три: [tex]z''_{xx}, \,\ z''_{xy}[/tex] и [tex]z''_{yy}[/tex].
[tex]z''_{xy}=\frac{3x^2y^2}{(x^2+y^2)^2\sqrt{(x^2+y^2)}}[/tex]

[tex]z''_{xx}=-\frac{3y^2}{(x^2+y^2)^2\sqrt{(x^2+y^2)}}[/tex]

[KOPMOPAH]

Позабравил съм ги частните производни, та въпросът ми може да е малко наивен - числителят на $z^{''}_{xy}$ не трябва ли да е $3xy$, т.е. от същата степен (в случая втора) като числителя на $z^{''}_{xx}$