Първа производна

[donattelo]

Да се намери първата производна на израза (ако може да се напише по-подробно) :

purva_proizvodna.png (1.73 KiB) Прегледано 705 пъти

Благодаря Ви предварително за помощта!

[Knowledge Greedy]

[tex]arccosy=\frac{2x-1}{3}[/tex]
[tex]cosy=\frac{2x-1}{3}[/tex]
[tex]\left (cosy \right )'_x=\left ( \frac{2x-1}{3} \right )'[/tex]
[tex]-y'siny=\frac{2}{3}[/tex]
[tex]y'=-\frac{2}{3siny}[/tex]

[tex]y'=\mp\frac{2}{3\sqrt{1-\left ( \frac{2x-1}{3} \right )^2}}[/tex]

[tex]y'=\mp\frac{1}{\sqrt{-x^2+x+2}}[/tex]

[KOPMOPAH]

Аз бих подходил така:

Формулата за производна на $arccos$ e
$$
(\arccos\,t)'=-\frac 1 {\sqrt {1-t^2}}
$$
Тъй като в случая имаме сложна функция, т.е.
$$
t=f(x)
$$
формулата за производна придобива вида
$$
(\arccos\,t)'=-\frac 1 {\sqrt {1-t^2}}.t'
$$
$\left( \arccos\,\sqrt{\frac{2x-1}3}\right)'=-\frac 1 {\sqrt {1-\left(\sqrt{\frac{2x-1}3}\right)^2}}.\left(\sqrt{\frac{2x-1}3}\right)'
=-\frac 1 {\sqrt {1-\frac{2x-1}3}}.\frac 1{2.2\sqrt{\frac{2x-1}3}}=\\=-\frac 3 {4\sqrt{(4-2x)(2x-1)}}$

[Knowledge Greedy]

Аз се опитах "да вляза в ролята" на студент, който не знае или е забравил производната на функцията аркускосинус. Само, че съм решил друга задача - забравил съм корена в условието. Сега ще повторя идеята - както е зададена от donattelo » Съб Яну 21, 2017 9:03 pm.
[tex]y=arccos\sqrt{\frac{2x-1}{3}}[/tex]

[tex]cosy=\sqrt{\frac{2x-1}{3}}[/tex]

[tex]cos^2y=\frac{2x-1}{3}[/tex]

Диференцираме по [tex]x[/tex], като не забравяме, че [tex]y=y(x)[/tex], т.е. функцията [tex]\left [cosy(x) \right ]^2[/tex] е сложна функция.
[tex]\left [ 2cosy(-siny) \right ]y'=\frac{2}{3}[/tex]

[tex]y'=-\frac{1}{3sinycosy}[/tex]
Заместваме
[tex]siny=\sqrt{1-\left (\sqrt{\frac{2x-1}{3}} \right )^2}[/tex] и косинуса от началото:
[tex]y'=-\frac{1}{3\sqrt{1-\frac{2x-1}{3}}\sqrt{\frac{2x-1}{3}}}[/tex]

[tex]y'=-\frac{1}{\sqrt{4-2x}\sqrt{2x-1}}[/tex]
_________
Оказва се, че ако не се пишат подробностите, решението е неочаквано кратко.
_________
Събирането под един корен на множителите, за начинаещи не се препоръчва, защото по принцип променяме дефиниционното множество. (В случая обаче не е така, значи може. )
_________
Множителят [tex]\frac{3}{4}[/tex] в повече, в решението на KOPMOPAH » Нед Яну 22, 2017 5:12 am, идва поради това, че самият аргумент на аргумента - линейната функция [tex]\frac{2x-1}{3}[/tex] има производна, която е пропусната.

[KOPMOPAH]

Напълно съм съгласен с колегата, недофиференцирах като хората