Първа и втора производна

[nikolayk]

Здравейте, може ли да ми помогнете с решението на следната функция. Трябва да намеря първа и втора производна, като се използва формулата за деление. Благодаря предварително
y=[tex]\frac{x^{5}}{(x^{2}-1)^{2}}[/tex]

[Davids]

Имаш да приложиш няколко правила: производна на частно и на функция от функция (всъщност нямам идея как са академичните имена на правилата на български, но се надявам да ме разбра ).
Обозначаваш $g(x) = x^5; h(x) = (x^2-1)^2$
Тогава $y = f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}$
По правилото за производна на частно:
$f'(x) = \frac{g'(x).h(x) - g(x).h'(x)}{(h(x))^2}$
За целта намираш:
$g'(x) = 5x^4$
$h'(x) = 2(x^2-1).2x = 4x(x^2-1)$
И заместваш горе:
$f'(x) = \frac{5x^4.(x^2-1)^2 - x^5.4x(x^2-1)}{(x^2-1)^4} = \frac{5x^6 - 5x^4 - 4x^6}{(x^2-1)^3} = \frac{x^4(x^2 - 5)}{(x^2-1)^3}$

[aifC]

[tex]y = \frac{x^{5}}{(x^{2}-1)^{2}} \Rightarrow y'= \frac{(x^{5})' \cdot (x^{2}-1)^{2}-x^{5} \cdot '(x^{2}-1)^{2}}{((x^{2}-1)^{2})^{2}} = \frac{5x^{4}(x^{2}-1)^{2}-2(x^{2}-1)(x^{2}-1)'x^{5}}{(x^{2}-1)^{4}} =[/tex]

[tex]\frac{5x^{4}(x^{2}-1)^{2}-2((x^{2})'+(-1)')x^{5}(x^{2}-1)}{(x^{2}-1)^{4}} = \frac{5x^{4}(x^{2}-1)^{2}-2(2x+0)x^{5}(x^{2}-1)}{(x^{2}-1)^{4}} = \frac{5x^{4}(x^{2}-1)^{2}-4x^{6}(x^{2}-1)}{(x^{2}-1)^{4}}= \frac{x^{4}(x^{2}-5)}{(x^{2}-1)^{3}};[/tex]

[tex]y'' = \left (\frac{x^{4}(x^{2}-5)}{(x^{2}-1)^{3}} \right)' = \frac{(x^{4}(x^{2}-5))'(x^{2}-1)^{3} - x^{4}(x^{2}-5)'(x^{2}-1)^{3}}{((x^{2}-1)^{3})^{2}} = \frac{((x^{4})'(x^{2}-5)+x^{4}(x^{2}-5)')(x^{2}-1)^{3}-3(x^{2}-1)^{2}(x^{2}-1)'x^{4}(x^{2}-5)}{(x^{2}-1)^{6}} =[/tex]

[tex]\frac{(x^{2}-1)^{3}(((x^{2})'+(-5)')x^{4}+4x^{3}(x^{2}-5))-3((x^{2})'+(-1)')x^{4}(x^{2}-5)(x^{2}-1)^{2}}{(x^{2}-1)^{6}} =[/tex]

[tex]\frac{(x^{2}-1)^{3}((2x+0)x^{4}+4x^{3}(x^{2}-5))-3(2x+0)x^{4}(x^{2}-5)(x^{2}-1)^{2}}{(x^{2}-1)^{6}} = \frac{2x^{5}}{(x^{2}-1)^{3}} + \frac{4x^{3}(x^{2}-5)}{(x^{2}-1)^{3}} - \frac{6x^{5}(x^{2}-5)}{(x^{2}-1)^{4}} = \frac{4x^{3}(x^{2}+5)}{(x^{2}-1)^{4}};[/tex]