Екстремуми на функция

[donattelo]

Да се намерят екстремумите на функцията:

[Knowledge Greedy]

[tex]z(x,y)=2x^3+xy^2-216x[/tex]

Фиксираме [tex]y[/tex]
[tex]z_x'=0 \,\ \Leftrightarrow \,\ 6x^2+y^2-216=0[/tex] [tex](\ast)[/tex]
Корените на уравнението са [tex]x_{1,2}=\pm\sqrt{36-\frac{y^2}{6}}[/tex]
- при [tex]-6\sqrt{6}\le y \le 6\sqrt{6}[/tex]
От [tex](\ast)[/tex] заместваме готовото [tex]y^2=216-x^2[/tex] в началната формула.
[tex]z=2x^3+x(216-6x^2)-216x[/tex]
За да не забравим, че това което получихме е само една фазова крива (върху която може да се намират локалните екстремуми), извършваме замяната [tex]X=\pm\sqrt{36-\frac{y^2}{6}}[/tex].
Намереното
[tex]z=2X^3+X(216-6X^2)-216X[/tex]
е еквивалентно на
[tex]z=-4X^3[/tex]

Поради свързаност на множеството от стойности на [tex]X[/tex] в двата случая, можем да направим заключенията за екстремумите така.
От условията за [tex]y[/tex]
[tex]-6\sqrt{6}\le y \le 6\sqrt{6}[/tex]
Явно [tex]-6\le X \le 6[/tex]
Следователно
[tex]-216\le X^3 \le 216[/tex]
[tex]-864\le -4X^3 \le 864[/tex]
[tex]\Rightarrow \,\ -864\le z \le 864[/tex]

Равенствата се случват еднозначно както следва:
- отляво при [tex]\left|\begin{matrix}
x=6\\
y=0
\end{matrix}\right.[/tex]
- отдясно при [tex]\left|\begin{matrix}
x=-6\\
y=0
\end{matrix}\right.[/tex]

Записваме
[tex]z_{max}=z(-6;0)=864[/tex]
[tex]z_{min}=z(6;0)=-864[/tex]