Докажете, че ако f(x) е диференцируема в [tex]x_{0}[/tex],то

[Петър Евгениев]

Докажете, че ако f(x) е диференцируема в [tex]x_{0}[/tex], то [tex]\lim_{x\to x_{0}}\frac{xf(x_{0})-x_{0}f(x)}{x-x_{0}}=f(x_{0})-x_{0}f'(x_{0})[/tex]
Пробвах отзад напред, ама нещо не стана.
[tex]x_{0}f'(x_{0})=\lim_{x\to x_{0}} x_{0}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=\lim_{x \to x_{0}}\frac{x_{0}f(x)-x_{0}f(x_{0})}{x-x_{0}}[/tex]
и понеже е деференцируема значи е и непрекъсната в тази точка: [tex]f(x_{0})=\lim_{x \to x_{0}}f(x)[/tex]
И тогава [tex]f(x_{0})-x_{0}f'(x_{0})=\lim_{x \to x_{0}}f(x)-\lim_{x \to x_{0}}\frac{x_{0}f(x)-x_{0}f(x_{0})}{x-x_{0}}=\lim_{x \to x_{0}}\frac{xf(x)-x_{0}f(x)-x_{0}f(x)+x_{0}f(x_{0})}{x-x_{0}}[/tex] И не става нещо да го нагодя като горното...

[Петър Евгениев]

Намерих си грешката.

[Knowledge Greedy]

Изглежда - чисто формално е така:
Преобразуваме
[tex]\frac{xf(x_0)-x_0f(x)}{x-x_0}=\frac{-x_0f(x)+xf(x_0)}{x-x_0}=\frac{xf(x)-x_0f(x)-xf(x)+xf(x_0)}{x-x_0}=[/tex]

[tex]=\frac{(x_0-x)f(x_0)-x[f(x)-f(x_0)]}{x-x_0}[/tex]
тогава търсената граница е сбор (разлика) от двете съществуващи граници
[tex]\lim_{x \to x_0} \left [ \frac{\cancel{(x-x_0)}f(x)}{\cancel{(x-x_0)}}-\frac{(x-x_0)f(x_0)}{x-x_0} \right ]=\lim_{x \to 0}f(x)-\lim_{x \to x_0}x\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}[/tex],
а именно [tex]f(x_0)[/tex] и [tex]-x_0f'(x_0)[/tex]