Доказване на неравенство с теоремата на Лагранж

[Петър Евгениев]

Става дума за неравенството, [tex]\alpha(b-a)a^{\alpha-1}<b^{\alpha}-a^{\alpha}<\alpha(b-a)b^{\alpha-1}[/tex], за [tex]\alpha>1, 0<a<b[/tex]
Та, ако [tex]f(x)=x^{\alpha}[/tex], то тя е непрекъсната и диференцируема в [tex][a;b][/tex], и следва от Лагранж, че [tex]f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}[/tex] и понеже [tex]f'(c)=(c^{\alpha})'=\alpha c^{\alpha-1} \Rightarrow \alpha c^{\alpha-1}=\frac{b^{\alpha}-a^{\alpha}}{b-a}[/tex]
Като разделя на [tex](b-a)>0[/tex] двете страни на първоначалното неравенство става лесно...
$$\alpha a^{\alpha-1} < \alpha c^{\alpha-1} < \alpha b^{\alpha-1} \Rightarrow a^{\alpha-1} < c^{\alpha-1} < b^{\alpha-1}$$
и понеже [tex]\alpha>1, 0<a<c<b[/tex] е изпълнено,ясно е. Обаче трябва ли да разглеждам случай примерно [tex]0<a<c<b<1[/tex], при който няма да е изпълнено?

[ptj]

Защо се мъчиш, а не разделиш просто всичко на [tex](b-a)[/tex]. Когато [tex]\alpha[/tex] е цяло неравенствата са ти очевидни.
За останалите случаи трябва да го изхитриш...