Граница на функция

[Гост]

[tex]\lim_{x \to а}\frac{sin(x)-sin(a)}{x-a}[/tex]

[tex]\lim_{x \to -\infty}\frac{3^{x}+7^{x}}{7^{x+2}-5^{x} }[/tex]

[Davids]

Първата граница ти е буквалното определение за първа производна в точка $a$, т.е. $\lim_{x \to a}\frac{sinx - sina}{x - a} = cosa$ (врътката става на един ред с Лопитал)
Втората можем да я докараме с групиране и Лопитал:
$\lim_{x\to -\infty}\frac{3^x + 7^x}{49.7^x - 5^x} = \lim_{x \to -\infty}\frac{(\frac{3}{7})^x + 1}{49 - (\frac{5}{7})^x} = \lim_{x \to -\infty}\Bigg(\frac{(\frac{3}{7})^x}{49 - (\frac{5}{7})^x}\Bigg) + \lim_{x \to -\infty}\frac{1}{49 - (\frac{5}{7})^x} =$

Дясната граница е нула, така получаваме само:
$= \lim_{x \to -\infty}\frac{(\frac{3}{7})^x}{49 - (\frac{5}{7})^x}$

Неопределеността е от вида $\frac{\infty}{\infty}$, така че Лопитал важи:
$= \lim_{x\to -\infty}\frac{ln(\frac{3}{7}).(\frac{3}{7})^x}{-ln(\frac{5}{7}).(\frac{5}{7})^x} = \lim_{x\to -\infty}-\log_{\frac{5}{7}}(\frac{3}{7}).(\frac{3}{5})^x = -\infty$

[Добромир Глухаров]

$\lim_{x\to a}\frac{sin(x)-sin(a)}{x-a}=\lim_{x\to a}\frac{2sin\left(\frac{x-a}{2}\right)cos\left(\frac{x+a}{2}\right)}{x-a}=$

$=\lim_{x\to a}\frac{sin\left(\frac{x-a}{2}\right)}{\frac{x-a}{2}}\cdot cos\frac{a+a}{2}=1.cos(a)=cos(a)$

Защото $\lim_{\epsilon\to0}\frac{sin\epsilon}{\epsilon}=1$ - Основна граница.

[Добромир Глухаров]

$\lim_{x\to-\infty}\frac{3^x+7^x}{7^{x+2}-5^x}=\lim_{x\to-\infty}\frac{\left(\frac{3}{5}\right)^x+\left(\frac{7}{5}\right)^x}{49.\left(\frac{7}{5}\right)^x-1}=$

$=\lim_{y\to+\infty}\frac{\left(\frac{5}{3}\right)^y+\left(\frac{5}{7}\right)^y}{49.\left(\frac{5}{7}\right)^y-1}=\frac{+\infty+0}{49.0-1}=-\infty$