Граница на функция

[Гост]

Може ли някой да ми помогне за намирането на тази франица чрез еквивалентни безкрайно малки функции:

[tex]\lim_{x \to 0}\frac{ln(1+tg(x))}{e^{arcsin(x)}-1}[/tex]

[KOPMOPAH]

Може ли някой да ми помогне за намирането на тази франица чрез еквивалентни безкрайно малки функции:

[tex]\lim_{x \to 0}\frac{ln(1+tg(x))}{e^{arcsin(x)}-1}[/tex]

Използва се, че безкрайно малките функции $x$, $\sin x$, $\operatorname {tg} x$, $\operatorname {arcsin} x$, $\operatorname {arctg} x$ и др. са еквивалентни и взаимозаменяеми при $x \to 0$.

Границата става $$\lim_{x \to 0}\frac{\operatorname {ln}(1+\operatorname {tg}(x))}{e^{\operatorname {arcsin}(x)}-1}=\lim_{x \to 0}\frac{\operatorname {ln}(1+x)}{e^{x}-1},$$което е неопределеност от вида $\frac 00$ и тогава прилагаме правилото на Лопитал:$$\lim_{x \to 0}\frac{\operatorname {ln}(1+x)}{e^{x}-1}=\lim_{x \to 0}\frac{\left(\operatorname {ln}(1+x)\right)'}{\left(e^{x}-1\right)'}=\lim_{x \to 0}\frac1{(1+x)e^x}=\frac1{(1+0)e^0}=1$$

[vezni]

Използвайки [tex]\sin x\sim x[/tex] при [tex]x\to 0[/tex], "получаваме"

[tex]\lim_{x\to 0}\dfrac{e^{\frac{1}{\sin^2 x}}}{e^{\frac{1}{x^2}}}=\lim_{x\to 0}\dfrac{e^{\frac{1}{x^2}}}{e^{\frac{1}{x^2}}}=1[/tex]
Само че това е грешно. Границата се оказва [tex]\sqrt[3]{e}[/tex]. Това със замяната на еквивалентни функции не винаги е вярно,
тоест от [tex]\sin x\sim x[/tex] не е задължително да следва [tex]f(\sin x)\sim f(x)[/tex].

В случая можем да ползваме [tex]e^y-1\sim y[/tex] и [tex]\ln(1+y)\sim y[/tex] при [tex]y\to 0[/tex]:
[tex]\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+\tg x)}{e^{\arcsin x}-1}=\lim_{x\to 0}\frac{\tg x}{\arcsin x}[/tex]. После [tex]\tg x\sim x[/tex] и [tex]\arcsin x\sim x[/tex]
[tex]\lim_{x\to 0}\frac{\tg x}{\arcsin x}=\lim_{x\to 0}\frac{x}{x}=1[/tex]