Граница на функция

[Гост]

Трябва да намеря тази граница чрез теоремите на Лоптал, но не ми се получава...
[tex]\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}(cos(x))^{cotg(x)}[/tex]

[Sup3rlum]

Ако не ти се получава, тогава колко наистина си се (Л)опитал?

Лопиталката работи в ситуации от сорта $\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}$ и еквивалентни по държание изрази.
Ти имаш $0^0$

Коя функция превръща степен и основа в продукт или частно? Има само една такава - $lnx$

Една от "теоремите" в анализа е, че ако границата съществува, то тогава ако я сложиш в гладка (диференцуема) функция, резултата пак съществува, като граница, стига първоначалната граница да е място където функцията е диференцуема.

Т.е. $ln( \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} cosx^{cotx} ) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}}ln(cosx^{cotx})$

$L= \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} cosx^{cotx}$

$ln(L)=\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}ln(cosx^{cotx})$

$ln(L)=\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}cotx.ln(cosx)$
$ln(L) =\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{ln(cosx)}{tanx}$

Което е от формата на $\frac{\infty}{\infty}$ и тук вече може да се използва Лопитал.

$ln(L)=\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{\frac{1}{cosx}.(-sinx)}{sec^2x}=\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}-cosx.sinx=0$

$ln(L)=0$
$\boxed{L=e^0=1}$

[Добромир Глухаров]

За да може да се извърши степенуването, косинусът трябва да е положителен, т.е. х да е по-малък от $\frac{\pi}{2}$, затова пишем $x\to\frac{\pi}{2}-0$. Освен това ще си поставим по-леката задача да намерим не границата $\lim_{x\to\frac{\pi}{2}-0}(cos(x))^{cotg(x)}$, а нейният натурален логаритъм $L=\lim_{x\to\frac{\pi}{2}-0}ln\left((cos(x))^{cotg(x)}\right)$. Тогава $\lim_{x\to\frac{\pi}{2}-0}(cos(x))^{cotg(x)}=e^L$.

И така: $L=\lim_{x\to\frac{\pi}{2}-0}ln\left((cos(x))^{cotg(x)}\right)=\lim_{x\to\frac{\pi}{2}-0}cotg(x)ln(cos(x))=\lim_{x\to\frac{\pi}{2}-0}\frac{ln(cos(x))}{tg(x)}\{\frac{-\infty}{+\infty}\}=\lim_{x\to\frac{\pi}{2}-0}\frac{(ln(cos(x)))'}{(tg(x))'}=\lim_{x\to\frac{\pi}{2}-0}\frac{\frac{-sin(x)}{cos(x)}}{\frac{1}{cos^2x}}=\lim_{x\to\frac{\pi}{2}-0}(-sin(x)cos(x))=-0$

И $\lim_{x\to\frac{\pi}{2}-0}(cos(x))^{cotg(x)}=e^L=e^{-0}=1$