Изследване на функция

[Гост]

Може ли някой да ми каже дали тази функция има инфлексни точки и в кои интервали е изпъкнала и вдлъбната: y = [tex]\frac{x^{4}}{x^{3}-1}[/tex], защото при проверна на y''[tex]\ge[/tex] 0 , пиша 6[tex]x^{2}[/tex]([tex]x^{3}[/tex]+2)([tex]x^{3}[/tex]-1) [tex]\ge[/tex]0, при което определям че започваме с знак +, а на графиката виждам че фунцията е вдлъбната?

[Knowledge Greedy]

Втората производна е с минус отпред: [tex]y''=-\frac{6x^2(x^3+2)}{(x^3-1)^3}[/tex]

Хубаво, че попита - да разбера, че не знаеш да решаваш неравенства.

Първо. Неравенствата се решават само с този знак [tex]>[/tex] или с този [tex]<[/tex]. Свойството изпъкналост и вдлъбнатост е глобално свойство и от едно число изпъкналостта не зависи (без [tex]=[/tex]).

Числото [tex]x=1[/tex] е точка на смяна на знака в знаменателя - при това без да е инфлексна точка, защото не е от дефиниционното множество, но [tex](x^3-1)[/tex] е на нечетната трета степен и сменя знака си при преминаване през единицата.

Ето защо изпъкналост фунцията придобива при

[tex]y''=-\frac{6x^2(x^3+2)}{(x^3-1)^3} >0 \,\ \Leftrightarrow \,\ \frac{(x^3+2)}{(x^3-1)^3} <0 \,\ \Leftrightarrow \,\ \frac{x+\sqrt[3]{2}}{x-1} <0 \,\ \Leftrightarrow \,\ x\in(-\sqrt[3]{2}; 1)[/tex]

Вдлъбната е функцията в другите два интервала [tex](- \infty ; -\sqrt[3]{2})\cup (1;+\infty)[/tex]

_____________________
Не затваряй интервалите и не пиши [tex]\le[/tex] вместо [tex]>[/tex] и [tex]\le[/tex] вместо [tex]<[/tex] ( – не е "по-авторитетно", но ще ти махна единица от оценката за това).

[Гост]

Благодаря, ще се поправя! А мога ли да попитам ако имам в знаменателн ln(x) отново ли при х = 1, се сменя изпъкналост с вдлъбнатост и защо?

Втората производна е с минус отпред: [tex]y''=-\frac{6x^2(x^3+2)}{(x^3-1)^3}[/tex]

Хубаво, че попита - да разбера, че не знаеш да решаваш неравенства.

Първо. Неравенствата се решават само с този знак [tex]>[/tex] или с този [tex]<[/tex]. Свойството изпъкналост и вдлъбнатост е глобално свойство и от едно число изпъкналостта не зависи (без [tex]=[/tex]).

Числото [tex]x=1[/tex] е точка на смяна на знака в знаменателя - при това без да е инфлексна точка, защото не е от дефиниционното множество, но [tex](x^3-1)[/tex] е на нечетната трета степен и сменя знака си при преминаване през единицата.

Ето защо изпъкналост фунцията придобива при

[tex]y''=-\frac{6x^2(x^3+2)}{(x^3-1)^3} >0 \,\ \Leftrightarrow \,\ \frac{(x^3+2)}{(x^3-1)^3} <0 \,\ \Leftrightarrow \,\ \frac{x+\sqrt[3]{2}}{x-1} <0 \,\ \Leftrightarrow \,\ x\in(-\sqrt[3]{2}; 1)[/tex]

Вдлъбната е функцията в другите два интервала [tex](- \infty ; -\sqrt[3]{2})\cup (1;+\infty)[/tex]

_____________________
Не затваряй интервалите и не пиши [tex]\le[/tex] вместо [tex]>[/tex] и [tex]\le[/tex] вместо [tex]<[/tex] ( – не е "по-авторитетно", но ще ти махна единица от оценката за това).