Интервали на вдлъбнатост и изпъкналост и инфлексни точки

[kospodinpuma]

Здравейте!

При решаването на следните задачи изпитвам затруднения:

Условието на задачата - Да се намерят интервалите на изпъкналост и вдлъбнатост и инфлексните точки на следните функции:

y=x^3-5x^2+3x-5 при тази функция намерих първата (y'=3x^2-10x+3) и втората (y''=6x+10) производна и интервалите и инфлексните точки - x[tex]\in[/tex] (-\infty ;5/3) \cup (5/3; +\infty), но също така пише, че т.М(-250/27) и не знам как да я намеря тази точка)

y=(x+1)^4+e^x тук стигнах до първата производна и не съм сигурен дали е вярна - y'=4(x+1)^3+e , a отговорът е, че функцията е изпъкнала

Ако може някой да ми съдейства, че съм много благодарен!

[Добромир Глухаров]

В първата задача ($y=x^3-5x^2+3x-5$) втората производна $y''=6x-10$ става равна на нула при $x=\frac{5}{3}$ и това е абсцисата на инфлексната точка, а ординатата намираме, като заместим тази стойност на х в дадената функция: $y=x^3-5x^2+3x-5=\left(\frac{5}{3}\right)^3-5\cdot\left(\frac{5}{3}\right)^2+3\cdot\frac{5}{3}-5=\frac{125}{27}-\frac{125}{9}+5-5=-\frac{250}{27}$. Значи инфлексната точка М е с координати $M\left(\frac{5}{3};-\frac{250}{27}\right)$

Във втората задача $y=(x+1)^4+e^x$ правилно сте намерил първата производна $y'=4(x+1)^3+e^x$, но трябва да се намери и втората производна и да се докаже, че е положителна за всяко х - тогава графиката на функцията ще бъде изпъкнала.
$y''=(y')'=(4(x+1)^3+e^x)'=4.3(x+1)^2+e^x=12(x+1)^2+e^x$ - тук първото събираемо е неотрицателно, тъй като съдържа точен квадрат, а второто е експоненциалната функция, която има свойството да е положителна за всяко х.

[kospodinpuma]

В първата задача ($y=x^3-5x^2+3x-5$) втората производна $y''=6x-10$ става равна на нула при $x=\frac{5}{3}$ и това е абсцисата на инфлексната точка, а ординатата намираме, като заместим тази стойност на х в дадената функция: $y=x^3-5x^2+3x-5=\left(\frac{5}{3}\right)^3-5\cdot\left(\frac{5}{3}\right)^2+3\cdot\frac{5}{3}-5=\frac{125}{27}-\frac{125}{9}+5-5=-\frac{250}{27}$. Значи инфлексната точка М е с координати $M\left(\frac{5}{3};-\frac{250}{27}\right)$

Във втората задача $y=(x+1)^4+e^x$ правилно сте намерил първата производна $y'=4(x+1)^3+e^x$, но трябва да се намери и втората производна и да се докаже, че е положителна за всяко х - тогава графиката на функцията ще бъде изпъкнала.
$y''=(y')'=(4(x+1)^3+e^x)'=4.3(x+1)^2+e^x=12(x+1)^2+e^x$ - тук първото събираемо е неотрицателно, тъй като съдържа точен квадрат, а второто е експоненциалната функция, която има свойството да е положителна за всяко х.

Много Ви благодаря!