Растяща функция/ Въпрос

[skadevil]

Здравейте! Искам да попитам дали разсъждавам правилно по една задача:
Дадена е [tex]f(x)=\frac{1}{3}k^{2}x^{3}+3x^{2}+x[/tex], като [tex]f(x)[/tex] е растяща за [tex]x\in(-\infty,+\infty)[/tex]. Колко е [tex]k[/tex]?

Щом функцията е растяща за всяко х [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]f(x)=\frac{1}{3}k^{2}x^{3}+3x^{2}+x>0[/tex] и се получава параметрично неравенство.
[tex]\frac{1}{3}k^{2}x^{3}+3x^{2}+x>0[/tex]
[tex]х(\frac{1}{3}k^{2}x^{2}+3x+1)>0[/tex]
[tex](\frac{1}{3}k^{2}x^{2}+3x+1)[/tex] това да е изпълнено за всяко х трябва:
[tex]\begin{array}{|l} a>0 \\ D<0 \end{array}[/tex] т.е [tex]\begin{array}{|l} \frac{1}{3}k^{2}>0 \\ 9-\frac{4}{3}k^{2}<0 \end{array}[/tex]
и намирам че решенията за k са [tex]k\in(-\infty;-\frac{3\sqrt{3}}{2})(\frac{3\sqrt{3}}{2};+\infty)[/tex] но с този х изнесен пред скоби какво става и така ли се решаваха параметричните неравенства, че съм ги позабравил

[math10.com]

Въобще не се решава така.
За да е винаги растяща тази функция имаме 2 случая
[tex]\begin{cases} \lim_{x \to -\infty} f(x)=-\infty \\ \lim_{x \to +\infty} f(x)=+\infty \\f^{'}(x)\ne 0 ; \forall x \end{cases}[/tex]
(Ако функцията има локални екстремуми то между тях ще имаме промяна на растеж и намаляване, а ако първата производна има нули то те ще са локални екстремуми)

Намираш производната [tex]f^{'}(x)=k^2x^2+6x+1[/tex] и търсиш стойностите за [tex]k[/tex] при който израза няма корени.В случая :
[tex]\begin{cases} k^2 > 0 \\ D < 0 \end{cases} \Rightarrow 36-4k^2<0 \Rightarrow k\in (-\infty ; 3)\cup (3; +\infty)[/tex]

2-рия случай е когато [tex]f^{'}(x)=f^{''}(x)=0[/tex] тогава имаме инфлексия(промяна на изпъкналост и вдлъбнатост)

[tex]\begin{array}{|l} f^{'}(x)=0 \Rightarrow k^2x^2+6x+1=0 \Rightarrow \frac{9}{k^2}-\frac{18}{k^2}+1=0 \Rightarrow k=\pm 3\\ f^{''}(x)=2k^2x+6=0 \Rightarrow x=-\frac{3}{k^2} \end{array}[/tex]

Така окончателно получаваш [tex]k\in (-\infty ; 3]\cup [3; +\infty)[/tex]

[skadevil]

Благодаря много! За първи път решавам такава задача и не знам какъв е подхода

[Гост]

Просто трябва да намериш онези стойности на $k$ при които $f'(x)\ge 0, \forall x\in (-\infty, \infty).$ Само това е. Неуместно е да се намесва втората производна, инфлексни точки и т.н. ?!

[Гост]

Просто трябва да намериш онези стойности на $k$ при които $f'(x)\ge 0, \forall x\in (-\infty, \infty).$ Само това е. Неуместно е да се намесва втората производна, инфлексни точки и т.н. ?!

А защо да не е [tex]f'(x)\le 0 ;\forall x\in (-\infty, \infty).[/tex]Може би защото първата производна е квадратен тричлен с положителен старши коефициент.

Ами ако [tex]f(x)=\frac{1}{7}x^7+\frac{3}{2}x^6+\frac{33}{5}x^5+\frac{63}{4}x^4+22x^3+18x^2+8x+k^2+3k+2[/tex],
За кой стойности на параметъра [tex]k[/tex] , функцията ще е винаги растяща?Какво упътване ще предложиш ,за този пример?

Иначе ОК прав си , че в тази задача не е нужно да намесваме втората производна

[Гост]

При хубави функции (примерно с непрекъсната първа производна) необходимото и достатъчно условие ф-ята да е растяща навсякъде (или в даден интервал) е да е изпълнено $f'(x)\ge 0$ за всяко $x$ (или в интервала).

[Гост]

При хубави функции (примерно с непрекъсната първа производна) необходимото и достатъчно условие ф-ята да е растяща навсякъде (или в даден интервал) е да е изпълнено $f'(x)\ge 0$ за всяко $x$ (или в интервала).

Това не е вярно.
ако [tex]f'(x)=(x-a)^3(x-b)^3[/tex] , то [tex]f'(x)<0 ; x\in (a;b)[/tex] , в същото време
[tex]f''(x)=3(2x-a-b)(x-a)^2(x-b)^2[/tex].
Както забелязваш корените на [tex]f'(x)[/tex] са корени и на [tex]f''(x)[/tex] т.е имаме инфлексия , а не екстремуми.
Е тогава [tex]f(x)[/tex] е винаги растяща/(намаляваща) и това е валидно и за интервала [tex]x\in (a;b)[/tex] в който [tex]f'(x)<0[/tex]

[Гост]

При хубави функции (примерно с непрекъсната първа производна) необходимото и достатъчно условие ф-ята да е растяща навсякъде (или в даден интервал) е да е изпълнено $f'(x)\ge 0$ за всяко $x$ (или в интервала).

Това не е вярно.
ако [tex]f'(x)=(x-a)^3(x-b)^3[/tex] , то [tex]f'(x)<0 ; x\in (a;b)[/tex] , в същото време
[tex]f''(x)=3(2x-a-b)(x-a)^2(x-b)^2[/tex].
Както забелязваш корените на [tex]f'(x)[/tex] са корени и на [tex]f''(x)[/tex] т.е имаме инфлексия , а не екстремуми.
Е тогава [tex]f(x)[/tex] е винаги растяща/(намаляваща) и това е валидно и за интервала [tex]x\in (a;b)[/tex] в който [tex]f'(x)<0[/tex]

Абе, човек, вместо да пишеш глупости направи справка или питай някой, който е в час. Ако функцията $f(x)$ e диференцируема в даден интервал и $f'(x)\le 0$ навсяктде в този интервал, то $f(x)$ е намаляваща в този интервал. Доказателството е елементарно. Вземаш 2 точки $x_1<x_2$ в този интервал. Тогава по теоремата за крайните нараствания на Лагранж, съществува точка $\xi\in (x_1,x_2)$ такава че
$$f(x_2)-f(x_1)=(x_2-x_1)f'(\xi).$$
Тъй като $f'(\xi)\le 0$ от тук следва $f(x_2)-f(x_1)\le 0.$ Това е.