Що е елементарна функция?

[Гост]

Моля за помощ по въпроса. Не мога да разбера що е елементарна функция. Обикновено в учебниците се дава следното определение. Някакъв списък от функции се обявява за основни елементарни функции. Обявява се, че всяка основна елементарна функция е елементарна функция. След това се постулира, че сбор, разлика, произведение, частно на две елементарни функции е елементарна функция, елементарна функция на степен елементарна функция, а също и влагане на две елементарни функции също са елементарни функции. Списъкът с основни елементарни функции изглежда произволен, но всъщност явно е съставен от най-простите функции, чрез които се изразяват всички останали. (Явно това е идеята, вложена в понятието "основнаелементарна функция"). Има някои моменти, които са ми неясни. Какво е положението с алгебричните функции? Не всички алгебрични са цели или рационални функции.
Да определим: двуаргументната функция f(x, y) е елементарна тогава и само тогава, когато едноаргументната f(x, x) е елементарна. Какво е положението с неявните функции? Примерно за двуаргументната функция g(x, y) неявната функция f(x) е определена като g(x,f(x))=0. Ако g(x, y) е елементарна, f(x) счита ли се за елементарна?
В едно изложение срещнах твърдението, че елементарни функции са такива, стойносстта на които за всеки аргумент може да бъде пресметната с брой операции, независещ от аргумента. За пример на неелементарна функция беше посочен факториел, тъй като за пресмятането му се правят умножения, чийто брой зависи от аргумента. Но такова определение е нещо съвсем различно от горното. Тук понятието "елементарна функция" се свързва явно с изчислителна сложност. Но такова определение също ми е неясно. Факториел се пресмята точно с краен брой операции. Но болшинството функции се пресмятат приближено с някаква предварително зададена точност с определени изчислителни алгоритми с краен брой стъпки. Обикновено за по-голяма точност се правят повече итерации. И как в този случай се определя "елементарна функция"?
В учебниците по основи на диференциално и интегрално смятане за начинаещи се споменава, че примитивните на някои елементарни функции не са елементарни функции. Примерно за интеграла на диференциален бином се споменава, че Чебишов е доказал, че извън трите разглеждани случая, в които интегралът се решава, примитивната не е елементарна. Други примери са интегрален синус, интегрален косинус, интегрален логаритъм. Въпросът ми е с какви средства, с методи от кои области на математиката се прави такова доказателство: че примитивната на дадена елементарна функция не е елементарна? (Ясно е, че преди това трябва да имаме точно, строго и недвусмислено определение на "елементарна функция".)

[Davids]

Супер въпрос, който съм си задавал и аз не един път. Обаче и аз съм останал с едно размито впечатление... в крайна сметка имаш обща интуиция какво се има предвид в даден контекст под "елементарна функция", но еднозначните конкретни дефиниции варират... Оставям този коментар тук до голяма степен и от личен интерес към дискусията, някой с по-солидни виждания може да сподели по-конкретни аргументи, и аз бих се радвал.

[Гост]

И още нещо.
А какво е положението с функциите, зададени параметрично? Примерно функцията y(x) е зададена с явните функции f и g на независимата променлива t чрез двете равенства:
x=f(t);
y=g(t).
Или функцията y(x) е зададена параметрично като f и g са двуаргументни функции, така че x и y са неявни функции на независимата променлива t:
f(t,x)=0;
g(t,y)=0.
А какво е положението с функциите, определени чрез безкрайни степенни редове, чрез безкрайни произведения и чрез непрекъснати дроби (безкрайни верижни дроби)?
Предполагам, че в съвременната математика има точно определение за "елементарна функция" и методи, с които се установяват тези неща, но сигурно поради сложността си и поради това, че не се отнасят (предполагам) към математичен анализ (МА) в учебниците по МА за начинаещи този въпрос не се разглежда задълбочено.
Ще се радвам, ако запознати с този въпрос споделят коментари и мнения, дадат насоки, а също и линкове към учебни и обяснителни материали по темата.