Ай стига, бе!

[Гост]

Наскоро се замислих за нещо. Хрумна ми. Един въпрос. Има ли в математиката такова нещо като аналитично разширение на хармоничния ред? Подобно на това както гама-функцията на Ойлер е аналитично разширение в реални числа на функцията факториел за естествени числа? Имам предвид конкретно следното. Функция f(x), която да е определена поне в множеството [1; +[tex]\infty[/tex]).
Нека D = (1; +[tex]\infty[/tex]).
Функцията да е навсякъде в D конкавна, навсякъде в D безкраен брой пъти диференцуема, и за всяко цяло положително x да е в сила
[tex]f(x)=\sum_{i=1}^{x}\frac{1}{i}[/tex] .
Имам предвид не приближение като например натурален логаритъм, който при безкрайност се различава от хармоничния ред с константа на Ойлер. Въпрос едно: такава функция съществува ли? Въпрос две: ако съществува - единствена ли е? Въпрос три: ако такава функция съществува, може би не е елементарна функция, но ако тръгнем от някоя елементарна функция чрез краен брой операции интегриране, диференциране и обратна функция не може ли да стигнем до такава функция?
И друг въпрос: ако съществува такава f(x), за кои двойки цели числа (x,n), x≥1, n≥1, числото [tex]f^{(n)}(x)[/tex] е рационално? За всички? За никои? Само за някои?