Задача с графики и функции

[skadevil]

Здравейте! Може ли малко помощ с тази задача, защото не мога да я реша

[pal702004]

Ами да започнем да помагаме. Щом като корените на $f(x)$ са -2 и 6, то според Виет, на когото имам пълно доверие,

$-\frac b a =4,\;\; \frac c a =-12$

Да изразим $b$ и $c$ чрез $a$, че много букви се събраха.
След това ще намерим къде точно е върха на параболата.

[skadevil]

Oф да... Вярно... аз тотално изключих да го направя с Виет. Мерси много

[peyo]

Пф, Виет! Ще решим без Виет!

Върха на параболата е максимума, значи:
$f' = 2ax + b = 0$
$ x_{max} = -\frac{b}{2a}$

$ y_{max} = a(\frac{b}{2a})^2 - b\frac{b}{2a} + c = \frac{b^2}{4a} - \frac{b^2}{2a} + c = - \frac{b^2}{4a} + c$

От $y=x$ имаме в точката на пресичане имаме $ x_{max} = y_{max}$:
$-\frac{b}{2a}= - \frac{b^2}{4a} + c$

И това е нашето първо уравннеие за системата. Според картинката имаме 2 корена -2 и 6. Значи:
$a(x+2)(x-6) = ax^2 + bx +c$
$ax^2 - 4ax - 12a= ax^2 + bx +c$
Или според еднаквите степени ще направим 2 уравнения и заедно с предишното правим системата:

[tex]\begin{array}{|l} - 4a = b \\ -12a = c \\ -\frac{b}{2a}= - \frac{b^2}{4a} + c \end{array}[/tex]

И това е една системка от 3 уравннеия с 3 неизвестни. което може би означава, че ще имаме решение! Да видим. Търсим само $a$, затова директно заместваме да намерим $a$ в 3-тото.

$-\frac{- 4a}{2a}= - \frac{(- 4a)^2}{4a} -12a$
$2= - 4a -12a$

$а = - \frac{2}{16} = - \frac{1}{8}$

Ха, даже го има в отговорите и $a$ e $A$!

[skadevil]

Благодаря!

[pal702004]

peyo, аз се надявах, че топикстартера ще си дореши задачата самостоятелно, но както и да е.
След като с или без Виет определихме, че $b=-4a$ и $c=-12a$ и че $f(x)=a(x^2-4x-12)$, трябва с или без производни да определим, че върха на параболата е в $x=2$ и по условие $y=x$ трябва да решим $f(2)=2$

[skadevil]

peyo, аз се надявах, че топикстартера ще си дореши задачата самостоятелно, но както и да е.
След като с или без Виет определихме, че $b=-4a$ и $c=-12a$ и че $f(x)=a(x^2-4x-12)$, трябва с или без производни да определим, че върха на параболата е в $x=2$ и по условие $y=x$ трябва да решим $f(2)=2$

Да, аз точно така я дореших и получих точно отговор А), както и peyo e. Иначе благодаря много и на двамата за помощта

[drago]

Доста сметки! Това се прави наум. Абцисата на върха на параболата е средата на интервала $[-2,6]$, т.е. точката $x_0=2$. Тогава $f(2)=x_0=2.$ Тъй като $f(x)$ има 2 корена $x_1=-2,x_2=6$ то $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)=a(x+2)(x-6)$. Остава да заместим $x=2$ и получваме $2=f(2)=a(2+2)(2-6)= -16a$. И така $a=-\frac{1}{8}.$