Има поне един реален корен (Доказателство)

[seppen]

Ако [tex]\frac{a_0}{1}+\frac{a_1}{2}+...+\frac{a_n}{n+1} = 0[/tex]
Докажете, че [tex]a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ... + a_n x^n = 0[/tex] има поне един реален корен.

[martin.nikolov]

Пресмятаме интеграла

[tex]\int_0^1(a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ... + a_n x^n )dx=\frac{a_0}{1}+\frac{a_1}{2}+...+\frac{a_n}{n+1} = 0[/tex]

Това може да е вярно само ако полинома има корен в интеврал [0,1].

[seppen]

Да, но понеже съм го пуснала не във Висша Математика ще го напиша малко по-различно.

Намираме функция [tex]\normal g(x)[/tex], чиято производна е [tex]\normal f(x)[/tex]. Една такава е [tex]\normal a_0x+\frac{a_1}{2}x^2+...+\frac{a_n}{n+1} x^{n+1}[/tex].
[tex]\normal g(0)=0, g(1)=0[/tex]. Оттова м/у 0 и 1 [tex]\normal g(x)[/tex] има поне един екстремум.

Edit: (към долния коментар) Стига, бе, не знаех. ;] Същото е, но предвид раздела го написах по друг начин. Мисля, че това става ясно от първия ред на поста ми.

[mkmarinov]

Което е абсолютно същото.