Поне един реален корен(продължение)

[seppen]

[tex]ax^2 + (c-b)x+(e-d)=0[/tex] има 2 реални корена, по-големи от 1.
Да се докаже, че [tex]ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0[/tex] има поне един реален корен.

[martin123456]

Нека [tex]x_0[/tex] е един от корените на квадратното уравнение [tex]\Rightarrow x_0 > 1 \Rightarrow \sqrt{x_0} > 1[/tex].
Заместваме в уравнението от 4та степен, нека го означим с [tex]f(x)[/tex], [tex]\pm \sqrt{x_0}[/tex]: [tex]f(\pm \sqrt{x_0})=ax_0^2 \pm bx_0\sqrt{x_0}+cx_0 \pm d\sqrt{x_0}+e=(ax_0^2+cx_0+e) \pm \sqrt{x_0}(bx_0+d)[/tex].
Първият изаз в скобите, заместваме в квадратното уравнение с корена му [tex]x_0 \Rightarrow ax_0^2+cx_0+e=bx_0+d \Rightarrow f(\pm \sqrt{x_0})=bx_0+d \pm \sqrt{x_0}(bx_0+d)=(bx_0+d)(1 \pm \sqrt{x_0})[/tex].
Оттук [tex]\Rightarrow f(-\sqrt{x_0})f(\sqrt{x_0})=(bx_0+d)^2(1-x_0^2) < 0[/tex]. Значи [tex]f[/tex] има корен в [tex](-\sqrt{x_0}, \sqrt{x_0})[/tex].

[seppen]

Готино решение!

Единственото, дето аз бях направила е да забележа, че [tex]\normal ag(1)=af(-1)>0[/tex], но това не ми помогна.

На последния ред е [tex]\normal 1-x_0[/tex], а не [tex]\normal 1-x_0 ^2[/tex].