НМС и НГС на функция

[nikola.topalov]

Да се намери най-голямата и най-малката стойност на функцията [tex]f(x)=9\log_3^3\left(\sqrt[3]{1+8\cos^2 x}\right)-3\log_3^2\left(\sqrt{1+8\cos^2 x}\right)+2[/tex].

[nikola.topalov]

Качвам и решение:

Скрит текст: покажи

Функцията е дефинирана за [tex]\forall x\in\mathbb{R}[/tex]. След преобразуване получаваме [tex]f(x)=\dfrac{1}{3}\log_3^3(1+8\cos^2 x)-\dfrac{3}{4}\log_3^2(1+8\cos^2 x)+2[/tex]. Полагаме [tex]t=\log_3(1+8\cos^2 x)[/tex] и получаваме нова функция [tex]g(t)=\dfrac{1}{3}t^3-\dfrac{3}{4}t^2+2[/tex]. Да видим сега какви стойности приема [tex]t[/tex]. Имаме [tex]0\leq\cos^2 x\leq 1[/tex], откъдето [tex]0\leq 8\cos^2 x\leq 8[/tex] и [tex]1\leq 1+8\cos^2 x\leq 9[/tex]. След логаритмуване на неравенството получаваме [tex]0\leq \log_3(1+8\cos^2 x)=t\leq 2[/tex] (неравенството запазва знаците си, защото основата на логъритъма е по-голяма от едно). И така задачата се свежда до намиране на [tex]\min\limits_{0\leq t\leq 2}g(t)[/tex] и [tex]\max\limits_{0\leq t\leq 2}g(t)[/tex]. Пресмятаме първата производна на функцията [tex]g'(t)=t^2-\dfrac{3}{2}t[/tex], която се анулира в точките [tex]t=0[/tex] и [tex]t=\dfrac{3}{2}[/tex]. Имаме, че [tex]g(t)[/tex] е растяща в [tex](-\infty,0)\cup\left(\dfrac{3}{2},+\infty\right)[/tex] и намаляваща в [tex]\left(0,\dfrac{3}{2}\right)[/tex]. Понеже [tex]\left(1,\dfrac{3}{2}\right)\subset\left(0,\dfrac{3}{2}\right)[/tex], то значи [tex]g(t)[/tex] е растяща в този интервал. Аналогично, [tex]g(t)[/tex] намалява в [tex]\left(\dfrac{3}{2},2\right)[/tex]. Следователно [tex]\min\limits_{1\leq t\leq 2}g(t)=g\left(\dfrac{3}{2}\right)=\dfrac{23}{16}[/tex] и [tex]\max\limits_{1\leq t\leq 2}g(t)=\max\{g(0),g(2)\}=g(0)=2[/tex], защото [tex]g(0)>g(2)=\dfrac{5}{3}[/tex].