НГС на функция

[Гост]

Намерете стойностите на a, за които функцията има максимум при x=4.
Отг: а=8

[ammornil]

[tex]f(x)=\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{x^{2}}}{\left(\frac{1}{2}\right)^{ax-11}}=\left(\frac{1}{2}\right)^{x^{2}-ax+11}[/tex]

Показателна (експоненциална) функция с основа различна от нула никога не приема стойност нула, следователно ДМ: [tex]\forall x \in R[/tex]

[tex]f'(x)=(2x-a).\left(\frac{1}{2}\right)^{x^{2}-ax+11}.ln\left(\frac{1}{2}\right)=-ln(2).(2x-a).\left(\frac{1}{2}\right)^{x^{2}-ax+11}[/tex]

[tex]f''(x)=-2ln(2).\left(\frac{1}{2}\right)^{x^{2}-ax+11}+\left[ -ln(2).(2x-a).\left(\frac{1}{2}\right)^{x^{2}-ax+11} \right] .(-ln(2).(2x-a))=[ln^{2}(2).(2x-a)^{2}-2ln(2))]. \left( \frac{1}{2}\right)^{x^{2}-ax+11}[/tex]

[tex]f(4)=\left(\frac{1}{2}\right)^{4^{2}-4a+11}=\left(\frac{1}{2}\right)^{27-4a} = f(x)_{max} \Rightarrow \begin{array}{|l} f'(4)=0 \\ f''(4)<0 \end{array}[/tex]

[tex]f'(4)=-ln(2).(8-a).\left(\frac{1}{2}\right)^{27-4a} =0 \Rightarrow a=8[/tex] -единствено решение, защото констанатата [tex]-ln(2)[/tex] и експонентата [tex]\left(\frac{1}{2}\right)^{27-4a}[/tex] не приемат стойност нула за никоя дискретна реална стойност на параметъра [tex]a[/tex].

Остава да проверим дали при [tex]a=8[/tex] втората производна е отрицателна
[tex]\because a=8 \Rightarrow f''(4)=[ln^{2}(2).(8-8)^{2}-2ln(2))]. \left( \frac{1}{2}\right)^{27-32}=[0-2ln(2)).\left( \frac{1}{2}\right)^{-5}=-2ln(2).2^{5}=-2^{6}.ln(2)=-64ln(2)<0[/tex]

Следователно при [tex]a=8[/tex] в точката [tex]x=4[/tex] функцията [tex]f(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^{x^{2}-ax+11}[/tex] има локален максимум.

[Davids]

Изключително хубаво аналитично решение, валидно и за по-общ клас функции, на колегата отгоре. Аз бих желал да предложа и едно достатъчно просто за нашата задача:

Както е посочил и колегата, $f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^{x^2 - ax + 11}$

Търсим максимум на $f$, т.е. максимум на експонента при основа $\frac{1}{2} \in (0, 1)$. Значи търсим минимум на степента (понеже основата е по-малка от 1). А степента ни е квадратен тричлен $x^2-ax+11$, с положителен коефициент пред втората степен. Значи има минимум, който знаем, че се постига при върха на параболата: $x_0 = \frac{a} {2}$. По условие искаме $x_0 = 4$, значи $a = 8$.

Като за в училище решение.

[Гост]

Благодаря и за двете решения!