Доказване

[Гост]

Как да докажа, че ако f(x) е четна функция и уравнението f(x)=5 има единствено корен, този корен е равен на 0? Уравнението f(x)=5 няма ли графика, която е права, успоредна на оста Ox, която няма да има пресечни точки с нея, следователно няма корени?

[Davids]

Уравненията нямат графика, функциите имат. Със записа $f(x) = 5$ тук нямаме предвид дефиниция на функция (равна на константата 5 за всяко х), а искаме да намерим за кои х вече дефинираната функция $f$ има стойност 5, т.е. говорим за решения на уравнение.

Сега, знаем две неща:
1) $f$ е четна, т.е. $f(-x) = f(x)$ за всяка двойка $x$ и $-x$ от дефиниционната област.
2) Уравнението $f(x) = 5$ има единствен корен, т.е. ако кръстим този корен $x_0$ (фиксирана стойност), то от четността би следвало, че $f(-x_0) = f(x_0) = 5$. Но понеже $x_0$ е единствен корен, то $-x_0 = x_0$ и оттам $x_0 = 0$.